 3.4. PARTIALLY ORDERED CATEGORIES

43

3.4. Partially ordered categories

3.4.1. Definition.

Definition

245

.

I will call a partially ordered (pre)category a (pre)category

together with partial order

v

on each of its Mor-sets with the additional requirement

that

f

1

v

f

2

g

1

v

g

2

g

1

f

1

v

g

2

f

2

for every morphisms

f

1

,

g

1

,

f

2

,

g

2

such that Src

f

1

= Src

f

2

and Dst

f

1

= Dst

f

2

=

Src

g

1

= Src

g

2

and Dst

g

1

= Dst

g

2

.

I will denote lattice operations on a Hom-set

C

(

A, B

) of a category (or any

directed multigraph) like

t

C

t

C

(

A,B

)

explicitly.

3.4.2. Dagger categories.

Definition

246

.

I will call a

dagger precategory

a precategory together with

an involutive contravariant identity-on-objects prefunctor

x

7→

x

.

In other words, a dagger precategory is a precategory equipped with a function

x

7→

x

on its set of morphisms which reverses the source and the destination and

is subject to the following identities for every morphisms

f

and

g

:

1

.

f

††

=

f

;

2

. (

g

f

)

=

f

g

.

Definition

247

.

I will call a

dagger category

a category together with an

involutive contravariant identity-on-objects functor

x

7→

x

.

In other words, a dagger category is a category equipped with a function

x

7→

x

on its set of morphisms which reverses the source and the destination and is subject

to the following identities for every morphisms

f

and

g

and object

A

:

1

.

f

††

=

f

;

2

. (

g

f

)

=

f

g

;

3

. (1

A

)

= 1

A

.

Theorem

248

.

If a category is a dagger precategory then it is a dagger cate-

gory.

Proof.

We need to prove only that (1

A

)

= 1

A

. Really,

(1

A

)

= (1

A

)

1

A

= (1

A

)

(1

A

)

††

= ((1

A

)

1

A

)

= (1

A

)

††

= 1

A

.

For a partially ordered dagger (pre)category I will additionally require (for

every morphisms

f

and

g

with the same source and destination)

f

v

g

f

v

g.

An example of dagger category is the category

Rel

whose objects are sets and

whose morphisms are binary relations between these sets with usual composition

of binary relations and with

f

=

f

1

.

Definition

249

.

A morphism

f

of a dagger category is called

unitary

when it

is an isomorphism and

f

=

f

1

.

Definition

250

.

Symmetric

(endo)morphism of a dagger precategory is such

a morphism

f

that

f

=

f

.

Definition

251

.

Transitive

(endo)morphism of a precategory is such a mor-

phism

f

that

f

=

f

f

.