background image

CHAPTER 22

Postface

See this Web page for my research plans:

http://www.mathematics21.org/agt-

plans.html

I deem that now the most important research topics in Algebraic General Topol-

ogy are:

to solve the open problems mentioned in this work;

research pointfree reloids (see below);

define and research compactness of funcoids;

research categories related with funcoids and reloids;

research multifuncoids and staroids in more details;

research generalized limit of compositions of functions;

research more on complete pointfree funcoids.

All my research of funcoids and reloids is presented at

http://www.mathematics21.org/algebraic-general-topology.html

Please write to

porton@narod.ru

if you discover anything new related with my

theory.

22.1. Pointfree reloids

Let us define something (let call it

pointfree reloids

) corresponding to pointfree

funcoids in the same way as reloids correspond to funcoids.

First note that

RLD

(

A, B

) are isomorphic to

F

P

(

P

X

×

P

B

).

Then

note that

P

(

P

A

×

P

B

) are isomorphic both to

pFCD

(

P

A,

P

B

) and to

atoms

P

A

×

atoms

P

B

.

But

FCD

(

A, B

) is isomorphic to

pFCD

(

F

(

A

)

,

F

(

B

)).

Thus both

F

pFCD

(

A

,

B

) and

F

(atoms

A

×

atoms

B

) correspond to

pFCD

(

F

(

A

)

,

F

(

B

)) in the same way (replace

P

A

A

,

P

B

B

) as

RLD

(

A, B

)

corresponds to

FCD

(

A, B

).

So we can name either

F

pFCD

(

A

,

B

) or

F

(atoms

A

×

atoms

B

) as

pointfree

reloids

.

Yes another possible way is to define pointfree reloids as the set of filters on

the poset of Galois connections between two posets.

Note that there are three different definitions of pointfree reloids. They prob-

ably are not the same for arbitrary posets

A

and

B

.

I have defined pointfree reloids, but have not yet started to research their

properties.

Research convergence for pointfree funcoids (should be easy).

22.2. Formalizing this theory

Despite of all measures taken, it is possible that there are errors in this book.

While special cases, such as filters of powersets or funcoids, are most likely correct,

general cases (such as filters on posets or pointfree funcoids) may possibly contain

wrong theorem conditions.

384