background image

21.21. CONJECTURES

381

Conjecture

1935

.

Let (

A

,

Z

) = (

A

,

Z

)

i

n

be a family of filtrators on boolean

lattices.

A relation

δ

P

Q

atoms

A

i

such that for every

a

Q

atoms

A

i

A

a

:

δ

Y

i

n

atoms

Z

i

A

i

6

=

∅ ⇒

a

δ

(37)

can be continued till the function

f

for a unique staroid

f

of the form

λi

n

:

A

i

.

The funcoid

f

is completary.

Conjecture

1936

.

For every

X ∈

Q

i

n

F

(

A

i

)

X ∈

GR

f

δ

Y

i

n

atoms

X

i

6

=

.

(38)

Conjecture

1937

.

Let

R

be a set of staroids of the form

λi

n

:

F

(

A

i

) where

every

A

i

is a boolean lattice. If

x

Q

i

n

atoms

F

(

A

i

)

then

x

GR

d

R

⇔ ∀

f

R

:

x

f

.

There exists a completary staroid

f

and an indexed family

X

of principal filters

(with arity

f

= dom

X

and (form

f

)

i

= Base(

X

i

) for every

i

arity

f

), such that

f

v

Q

Strd

X

and

Y

u

X /

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Conjecture

1938

.

There exists a staroid

f

and an indexed family

x

of ultra-

filters (with arity

f

= dom

x

and (form

f

)

i

= Base(

x

i

) for every

i

arity

f

), such

that

f

v

Q

Strd

x

and

Y

u

x /

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Other conjectures:

Conjecture

1939

.

If staroid

⊥ 6

=

f

v

a

n

Strd

for an ultrafilter

a

and an index

set

n

, then

n

×{

a

} ∈

GR

f

. (Can it be generalized for arbitrary staroidal products?)

Conjecture

1940

.

The following posets are atomic:

1

. anchored relations on powersets;

2

. staroids on powersets;

3

. completary staroids on powersets.

Conjecture

1941

.

The following posets are atomistic:

1

. anchored relations on powersets;

2

. staroids on powersets;

3

. completary staroids on powersets.

The above conjectures seem difficult, because we know almost nothing about

structure of atomic staroids.

Conjecture

1942

.

A staroid on powersets is principal iff it is complete in

every argument.

Conjecture

1943

.

If

a

is an ultrafilter, then id

Strd

a

[

n

]

is an atom of the lattice

of:

1

. anchored relations of the form (

P

Base(

a

))

n

;

2

. staroids of the form (

P

Base(

a

))

n

;

3

. completary staroids of the form (

P

Base(

a

))

n

.

Conjecture

1944

.

If

a

is an ultrafilter, then

id

Strd

a

[

n

]

is an atom of the lattice

of:

1

. anchored relations of the form

F

(Base(

a

))

n

;

2

. staroids of the form

F

(Base(

a

))

n

;

3

. completary staroids of the form

F

(Base(

a

))

n

.