background image

21.21. CONJECTURES

379

Proof.

Consider multifuncoid

f

= Λ id

Strd

U

[3]

where

U

is an infinite set (of the

form

Z

3

) and

L

= (

Y

) where

Y

is a nonprincipal filter on

U

.

h

f

i

0

(

L

∪ {

(

k,

d

X

)

}

) =

Y

u

d

X

;

d

x

X

h

f

i

0

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

) =

d

x

X

(

Y

u

x

).

It can be

Y

u

d

X

=

d

x

X

(

Y

u

x

) only if

Y

is principal: Really:

Y

u

d

X

=

d

x

X

(

Y

u

x

) implies

Y

6

d

X

d

x

X

(

Y

u

x

)

6

=

⊥ ⇒ ∃

x

X

:

Y

6

x

and thus

Y

is principal. But we claimed above that it is nonprincipal.

Example

1922

.

There exists a staroid

f

and an indexed family

X

of principal

filters (with arity

f

= dom

X

and (form

f

)

i

= Base(

X

i

) for every

i

arity

f

), such

that

f

v

Q

Strd

X

and

Y

u

X /

GR

f

for some

Y

GR

f

.

Remark

1923

.

Such examples obviously do not exist if both

f

is a principal

staroid and

X

and

Y

are indexed families of principal filters (because for powerset

algebras staroidal product is equivalent to Cartesian product). This makes the

above example inspired.

Proof.

(

Monroe Eskew

) Let

a

be any (trivial or nontrivial) ultrafilter on

an infinite set

U

. Let

A, B

a

be such that

A

B

A, B

. In other words,

A

,

B

are arbitrary nonempty sets such that

∅ 6

=

A

B

A, B

and

a

be an ultrafilter on

A

B

.

Let

f

be the staroid whose graph consists of functions

p

:

U

a

such that

either

p

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

p

(

n

)

B

for all but finitely many

n

.

Let’s prove

f

is really a staroid.

It’s obvious

px

6

=

for every

x

U

. Let

k

U

,

L

a

U

\{

k

}

. It is enough

(taking symmetry into account) to prove that

L

∪ {

(

k, x

t

y

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

k, x

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

k, y

)

} ∈

GR

f.

(36)

Really,

L

∪ {

(

k, x

t

y

)

} ∈

GR

f

iff

x

t

y

a

and

L

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

L

(

n

)

B

for all but finitely many

n

;

L

∪ {

(

k, x

)

} ∈

GR

f

iff

x

a

and

L

(

n

)

A

for all but finitely many

n

or

L

(

n

)

B

; and similarly for

y

.

But

x

t

y

a

x

a

y

a

because

a

is an ultrafilter. So, the formula (

36

)

holds, and we have proved that

f

is really a staroid.

Take

X

be the constant function with value

A

and

Y

be the constant function

with value

B

.

p

GR

f

:

p

6

X

because

p

i

X

i

a

; so GR

f

GR

Q

Strd

X

that is

f

v

Q

Strd

X

.

Finally,

Y

u

X /

GR

f

because

X

u

Y

=

λi

U

:

A

B

.

21.21. Conjectures

Remark

1924

.

Below I present special cases of possible theorems. The theo-

rems may be generalized after the below special cases are proved.

Conjecture

1925

.

For every two funcoids

f

and

g

we have:

1

. (

RLD

)

in

a

f

×

(

DP

)

g

(

RLD

)

in

b

a

f

×

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

FCD

(Src

f,

Src

g

),

b

FCD

(Dst

f,

Dst

g

);

2

. (

RLD

)

out

a

f

×

(

DP

)

g

(

RLD

)

out

b

a

f

×

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

FCD

(Src

f,

Src

g

),

b

FCD

(Dst

f,

Dst

g

);

3

. (

FCD

)

a

f

×

(

C

)

g

(

FCD

)

b

a

f

×

(

DP

)

g

b

for every reloids

a

RLD

(Src

f,

Src

g

),

b

RLD

(Dst

f,

Dst

g

).

Conjecture

1926

.

For every two funcoids

f

and

g

we have:

1

. (

RLD

)

in

a

f

×

(

A

)

g

(

RLD

)

in

b

a

f

×

(

C

)

g

b

for every funcoids

a

FCD

(Src

f,

Src

g

),

b

FCD

(Dst

f,

Dst

g

);