 21.20. COUNTER-EXAMPLES

378

Remark

1911

.

At

http://mathoverflow.net/questions/60925/special-

infinitary-relations-and-ultrafilters

there is a proof for arbitrary infinite form,

not just for

N

.

Conjecture

1912

.

For every family

a

=

a

i

N

of ultrafilters

Q

Strd

a

is not an

atom nor of the poset of staroids neither of the poset of completary staroids of the

form

λi

N

: Base(

a

i

).

Conjecture

1913

.

There exists a non-completary staroid on powersets.

Conjecture

1914

.

There exists a prestaroid which is not a staroid.

Conjecture

1915

.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets

is atomic.

Conjecture

1916

.

The set of staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets

is atomistic.

Conjecture

1917

.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomic.

Conjecture

1918

.

The set of completary staroids of the form

A

B

where

A

and

B

are sets is atomistic.

Example

1919

.

StarComp(

a, f

t

g

)

6

= StarComp(

a, f

)

t

StarComp(

a, g

) in the

category of binary relations with star-morphisms for some

n

-ary relation

a

and an

n

-indexed families

f

and

g

of functions.

Proof.

Let

n

=

{

0

,

1

}

. Let GR

a

=

{

(0

,

1)

,

(1

,

0)

}

and

f

=

J

{

(0

,

1)

}

,

{

(1

,

0)

}

K

,

g

=

J

{

(1

,

0)

}

,

{

(0

,

1)

}

K

.

For every

{

0

,

1

}

-indexed family of

µ

of functions:

L

StarComp(

a, µ

)

⇔ ∃

y

a

: (

y

0

µ

0

L

0

y

1

µ

1

L

1

)

y

0

dom

µ

0

, y

1

dom

µ

1

: (

y

0

µ

0

L

0

y

1

µ

1

L

1

)

for every

n

-ary relation

µ

.

Consequently

L

StarComp(

a, f

)

L

0

= 1

L

1

= 0

L

= (1

,

0)

that is StarComp(

a, f

) =

{

(1

,

0)

}

. Similarly

StarComp(

a, g

) =

{

(0

,

1)

}

.

Also

L

StarComp(

a, f

t

g

)

y

0

, y

1

∈ {

0

,

1

}

: ((

y

0

f

0

L

0

y

0

g

0

L

0

)

(

y

1

f

1

L

1

y

1

g

1

L

1

))

.

Thus

StarComp(

a, f

t

g

) =

{

(0

,

1)

,

(1

,

0)

,

(0

,

0)

,

(1

,

1)

}

.

Corollary

1920

.

The above inequality is possible also for star-morphisms of

funcoids and star-morphisms of reloids.

Proof.

Because finitary funcoids and reloids between finite sets are essentially

the same as finitary relations and our proof above works for binary relations.

The following example shows that the theorem

1861

can’t be strengthened:

Example

1921

.

For some multifuncoid

f

on powersets complete in argument

k

the following formula is false:

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k,

d

X

)

}

) =

d

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

) for every

X

P

Z

k

,

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k,l

}

F

i

.