background image

21.20. COUNTER-EXAMPLES

377

Proof.

Let

f

=

n

A∈

F

(

f

)

Cor

A6

o

for some infinite set

f

where ∆ is some non-

principal filter on

f

.

A

t

B

f

⇔↑

f

Cor(

A

t

B

)

6

⇔↑

f

Cor

A

t ↑

f

Cor

B

6

f

Cor

A

u

6

=

F

(

f

)

∨ ↑

f

Cor

B

u

6

=

F

(

f

)

A

f

B

f.

Obviously

F

(

f

)

/

f

. So

f

is a free star. But free stars are essentially the

same as 1-staroids.

f

=

∆.

f

=

n

Z

F

up

Z

o

=

n

Z

F

K

up

Z

:

K

6

o

=

n

Z

F

Z

6

o

=

?

6

=

f

.

For the below counter-examples we will define a staroid

ϑ

with arity

ϑ

=

N

and

GR

ϑ

P

(

N

N

) (based on a suggestion by

Andreas Blass

):

A

GR

ϑ

sup

i

N

card(

A

i

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

i

6

=

.

Proposition

1907

.

ϑ

is a staroid.

Proof.

(val

ϑ

)

i

L

=

P

N

\ {∅}

for every

L

(

P

N

)

N

\{

i

}

if

sup

j

N

\{

i

}

card(

A

j

j

) =

N

∧ ∀

j

N

\ {

i

}

:

L

j

6

=

.

Otherwise (val

ϑ

)

i

L

=

. Thus (val

ϑ

)

i

L

is a free star. So

ϑ

is a staroid. (That

ϑ

is

an upper set, is obvious.)

Proposition

1908

.

ϑ

is a completary staroid.

Proof.

A

0

t

A

1

GR

ϑ

A

0

A

1

GR

ϑ

sup

i

N

card((

A

0

i

A

1

i

)

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

0

i

A

1

i

6

=

∅ ⇔

sup

i

N

card((

A

0

i

i

)

(

A

1

i

i

)) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

0

i

A

1

i

6

=

.

If

A

0

i

=

then

A

0

i

i

=

and thus

A

1

i

i

w

A

0

i

i

. Thus we can select

c

(

i

)

∈ {

0

,

1

}

in such a way that

d

∈ {

0

,

1

}

: card(

A

c

(

i

)

i

i

)

w

card(

A

d

i

i

) and

A

c

(

i

)

i

6

=

. (Consider the case

A

0

i, A

1

i

6

=

and the similar cases

A

0

i

=

and

A

1

i

=

.)

So

A

0

t

A

1

GR

ϑ

sup

i

N

card(

A

c

(

i

)

i

i

) =

N

∧ ∀

i

N

:

A

c

(

i

)

i

6

=

∅ ⇔

(

λi

n

:

A

c

(

i

)

i

)

GR

ϑ.

Thus

ϑ

is completary.

Obvious

1909

.

ϑ

is non-zero.

Example

1910

.

There is such a nonzero staroid

f

on powersets that

f

6w

Q

Strd

a

for every family

a

=

a

i

N

.

Proof.

It’s enough to prove

ϑ

6w

Q

Strd

a

.

Let

N

R

i

=

a

i

if

a

i

is principal and

R

i

=

N

\

i

if

a

i

is non-principal.

We have

i

N

:

R

i

a

i

.

We have

R /

GR

ϑ

because sup

i

N

card(

R

i

i

)

6

=

N

.

R

Q

Strd

a

because

X

a

i

:

X

R

i

6

=

.

So

ϑ

6w

Q

Strd

a

.