background image

21.20. COUNTER-EXAMPLES

376

Let

f

w

id

Strd

a

[

n

]

for every

a

atoms

A

. Then

L

GR id

Strd

a

[

n

]

:

L

GR

f

that is

L

form

f

:

 

Z

l

i

n

L

i

6

a

L

GR

f

!

.

But

a

atoms

A

:

d

Z

i

n

L

i

6

a

d

Z

i

n

L

i

6 A ⇔

L

id

Strd

A

[

n

]

.

So

L

id

Strd

A

[

n

]

L

GR

f

. Thus

f

w

id

Strd

A

[

n

]

.

21.19.8. Finite case.

Theorem

1904

.

Let

n

be a finite set.

1

. id

Strd

A

[

n

]

=

ID

Strd

A

[

n

]

if

A

and

Z

are meet-semilattices and (

A

,

Z

) is a binarily

meet-closed filtrator.

2

. ID

Strd

A

[

n

]

=

id

Strd

A

[

n

]

if (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice.

Proof.

1

.

L

GR

ID

Strd

A

[

n

]

L

GR ID

Strd

A

[

n

]

MEET

L

i

i

n

∪ {A}

A

l

i

n

L

i

u A 6

= 0

(by finiteness)

Z

l

i

n

L

i

u A 6

= 0

L

GR id

Strd

A

[

n

]

for every

L

Q

Z

.

2

.

L

GR

id

Strd

A

[

n

]

up

L

GR id

Strd

A

[

n

]

⇔ ∀

K

up

L

:

K

GR id

Strd

A

[

n

]

K

up

L

:

Z

l

i

n

K

i

A ⇔ ∀

K

up

L

:

Z

l

i

n

K

i

6 A ⇔

(by finiteness and theorem

532

)

K

up

L

:

A

l

i

n

K

i

6 A ⇔ A ∈

\

h

?

i

(

d

A

i

n

K

i

K

up

L

)

(by the formula for finite meet of filters, theorem

520

)

A ∈

\

h

?

i

up

A

l

i

n

L

i

⇔ ∀

K

up

A

l

i

n

L

i

:

A ∈

?K

⇔ ∀

K

up

A

l

i

n

L

i

:

A 6

K

(by separability of core, theorem

534

)

A

l

i

n

L

i

6 A ⇔

L

ID

Strd

A

[

n

]

.

Proposition

1905

.

Let (

A

,

Z

) be a binarily meet closed filtrator whose core

is a meet-semilattice.

ID

Strd

A

[

n

]

and id

Strd

A

[

n

]

are the same for finite

n

.

Proof.

Because

d

Z

i

dom

L

L

i

=

d

A

i

dom

L

L

i

for finitary

L

.

21.20. Counter-examples

Example

1906

.

f

6

=

f

for some staroid

f

whose form is an indexed family

of filters on a set.