background image

3.1. STRAIGHT MAPS AND SEPARATION SUBSETS

37

Theorem

211

.

If

f

is a straight monotone map from a meet-semilattice

A

then

the following statements are equivalent:

1

.

f

is an injection.

2

.

f

is order reflecting.

3

.

a, b

A

: (

a

@

b

f a

@

f b

).

4

.

a, b

A

: (

a

@

b

f a

6

=

f b

).

5

.

a, b

A

: (

a

@

b

f a

6w

f b

).

6

.

a, b

A

: (

f a

v

f b

a

6

A

b

).

Proof.

1

3

Let

a, b

A

. Let

f a

=

f b

a

=

b

. Let

a

@

b

.

f a

6

=

f b

because

a

6

=

b

.

f a

v

f b

because

a

v

b

. So

f a

@

f b

.

2

1

Let

a, b

A

. Let

f a

v

f b

a

v

b

. Let

f a

=

f b

. Then

a

v

b

and

b

v

a

and consequently

a

=

b

.

3

2

Let

a, b

A

: (

a

@

b

f a

@

f b

). Let

a

6v

b

. Then

a

A

a

u

b

. So

f a

A

f

(

a

u

b

). If

f a

v

f b

then

f a

v

f

(

a

u

b

) what is a contradiction.

3

5

4

Obvious.

4

3

Because

a

@

b

a

v

b

f a

v

f b

.

5

6

Obvious.

3.1.2. Separation subsets and full stars.

Definition

212

.

Y

a

=

n

x

Y

x

6

a

o

for an element

a

of a poset

A

and

Y

P

A

.

Definition

213

.

Full star

of

a

A

is

?a

=

A

a

.

Proposition

214

.

If

A

is a meet-semilattice, then

?

is a straight monotone

map.

Proof.

Monotonicity is obvious. Let

?a

6v

?

(

a

u

b

). Then it exists

x

?a

such

that

x /

?

(

a

u

b

). So

x

u

a /

?b

but

x

u

a

?a

and consequently

?a

6v

?b

.

Definition

215

.

A

separation subset

of a poset

A

is such its subset

Y

that

a, b

A

: (

Y

a

=

Y

b

a

=

b

)

.

Definition

216

.

I call

separable

such poset that

?

is an injection.

Definition

217

.

I call

strongly separable

such poset that

?

is order reflecting.

Obvious

218

.

A poset is separable iff it has a separation subset.

Obvious

219

.

A poset is strongly separable iff

?

is order embedding.

Obvious

220

.

Strong separability implies separability.

Definition

221

.

A poset

A

has

disjunction property of Wallman

iff for any

a, b

A

either

b

v

a

or there exists a non-least element

c

v

b

such that

a

c

.

Theorem

222

.

For a meet-semilattice with least element the following state-

ments are equivalent:

1

.

A

is separable.

2

.

A

is strongly separable.

3

.

a, b

A

: (

a

@

b

?a

@

?b

).

4

.

a, b

A

: (

a

@

b

?a

6

=

?b

).

5

.

a, b

A

: (

a

@

b

?a

6w

?b

).

6

.

a, b

A

: (

?a

v

?b

a

6

A

b

).

7

.

A

conforms to Wallman’s disjunction property.