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21.19. IDENTITY STAROIDS AND MULTIFUNCOIDS

369

2

1

Let

Y

Z

.

l

X

6 h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l, Y

)

}

)

Y

6 h

f

i

l

L

n

k,

l

X

o

Y

6

l

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

)

(proposition

580

)

x

X

:

Y

6 h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

)

⇔ ∃

x

X

:

x

6 h

f

i

k

(

L

(

l, Y

))

.

It is equivalent (proposition

1852

and the fact that [

f

]

is an upper

set) to

h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l, Y

)

}

) being a principal filter and thus (val

f

)

k

L

being

a principal free star.

1

3

.

Y

6 h

f

i

l

L

n

k,

l

X

o

l

X

6 h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l, Y

)

}

)

x

X

:

x

6 h

f

i

k

(

L

∪ {

(

l, Y

)

}

)

⇔ ∃

x

X

:

Y

6 h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

)

Y

6

l

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

)

for every principal

Y

. Thus

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k,

d

X

)

}

) =

d

x

X

h

f

i

l

(

L

{

(

k, x

)

}

) by separability.

21.19. Identity staroids and multifuncoids

21.19.1. Identity relations.

Denote id

A

[

n

]

=

λi

n

:

x

x

A

 

=

n

n

×{

x

}

x

A

o

the

n

-

ary identity relation on a set

A

(for each index set

n

).

Proposition

1862

.

Q

X

6

id

A

[

n

]

T

i

n

X

i

A

6

=

for every indexed

family

X

of sets.

Proof.

Y

X

6

id

A

[

n

]

⇔ ∃

t

A

:

n

×{

t

} ∈

Y

X

⇔ ∃

t

A

i

n

:

t

X

i

\

i

n

X

i

A

6

=

.

21.19.2. General definitions of identity staroids.

Consider a filtrator

(

A

,

Z

) and

A ∈

A

.

I will define below

small identity staroids

id

Strd

A

[

n

]

and

big identity staroids

ID

Strd

A

[

n

]

.

That they are really staroids and even completary staroids (under certain condi-

tions) is proved below.

Definition

1863

.

Consider a filtrator (

A

,

Z

). Let

Z

be a complete lattice. Let

A ∈

A

, let

n

be an index set.

form id

Strd

A

[

n

]

=

Z

n

;

L

GR id

Strd

A

[

n

]

Z

l

i

n

L

i

A

.

Obvious

1864

.

X

GR id

Strd

A

[

n

]

⇔ ∀

A

up

A

:

d

Z

i

n

X

i

u

A

6

= 0 if our filtrator

is with separable core.

Definition

1865

.

The subset

X

of a poset

A

has a nontrivial lower bound

(I

denote this predicate as MEET(

X

)) iff there is nonleast

a

A

such that

x

X

:

a

v

x

.