background image

21.18. ON PSEUDOFUNCOIDS

368

2

3

There exists a principal filter

F

such that

S

=

F

.

A

l

T

S

up

A

l

T

S

⇔ ∀

K

up

A

l

T

:

K

F ⇔

K

up

A

l

T

:

K

6 F ⇔

A

l

T

6 F ⇔

A

l

T

?

F ⇔ ∃K ∈

T

:

K ∈

?

F ⇔

∃K ∈

T

:

K 6 F ⇔ ∃K ∈

T

K

up

K

:

K

6 F ⇔ ∃K ∈

T

K

up

K

:

K

F ⇔

∃K ∈

T

: up

K ⊆

S

⇔ ∃K ∈

T

:

K ∈

S

T

S

6

=

.

⊥ ∈

S

up

⊥ ⊆

S

⇔ ⊥ ∈

S

what is false.

21.18.2. Complete staroids and multifuncoids.

Definition

1857

.

Consider an indexed family

Z

of posets. A pre-staroid

f

of

the form

Z

is

complete

in argument

k

arity

f

when (val

f

)

k

L

is a principal free

star for every

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Definition

1858

.

Consider an indexed family (

A

i

,

Z

i

) of filtrators and mul-

tifuncoid

f

is of the form (

A

,

Z

). Then

f

is

complete

in argument

k

arity

f

iff

h

f

i

k

L

Z

k

for every family

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Proposition

1859

.

Consider an indexed family (

A

i

,

Z

i

) of primary filtrators

over complete boolean lattices. Let

f

be a multifuncoid of the form (

A

,

Z

) and

k

arity

f

. The following are equivalent:

1

. Multifuncoid

f

is complete in argument

k

.

2

. Pre-staroid

[

f

]

is complete in argument

k

.

Proof.

Let

L

Q

Z

. We have

L

GR [

f

]

L

i

6 h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

;

val [

f

]

k

L

=

h

f

i

k

L

by the definition.

So val [

f

]

k

L

is a principal free star iff

h

f

i

k

L

Z

k

(proposition

1852

for

every

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k

}

Z

i

.

Example

1860

.

Consider funcoid

f

= 1

FCD

U

. It is obviously complete in each

its two arguments. Then [

f

]

is not complete in each of its two arguments because

(

X

,

Y

)

[

f

]

⇔ X 6 Y

what does not generate a principal free star if one of the

arguments (say

X

) is a fixed nonprincipal filter.

Theorem

1861

.

Consider an indexed family (

A

,

Z

) of filtrators which are down-

aligned, separable, with join-closed, binarily meet-closed and with separable core

which is a complete boolean lattice.

Let

f

be a multifuncoid of the aforementioned form. Let

k, l

arity

f

and

k

6

=

l

. The following are equivalent:

1

.

f

is complete in the argument

k

.

2

.

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k,

d

X

)

}

) =

d

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

) for every

X

P

Z

k

,

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k,l

}

Z

i

.

3

.

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k,

d

X

)

}

) =

d

x

X

h

f

i

l

(

L

∪ {

(

k, x

)

}

) for every

X

P

A

k

,

L

Q

i

(arity

f

)

\{

k,l

}

Z

i

.

Proof.

3

2

Obvious.