 21.18. ON PSEUDOFUNCOIDS

367

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is weakly down-aligned by obvious

508

and with join-closed core by

theorem

531

.

3

4

For every

X, Y

Z

we have

X

t

Z

Y

S

X

t

Z

Y

S

X

t

A

Y

S

X

S

Y

S

X

S

Y

S

;

Suppose there is least element

Z

S

. Then

A

=

Z

S

what is impossible.

Proposition

1854

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

. If

S

is a free star on

Z

then

S

is a free star on

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

There exists a filter

F

such that

S

=

F

. For every filters

X

,

Y ∈

A

X t

A

Y ∈

S

up(

X t

A

Y

)

S

⇔ ∀

K

up(

X t

A

Y

) :

K

F ⇔

K

up(

X t

A

Y

) :

K

6 F ⇔ X t

A

Y 6 F ⇔ X t

A

Y ∈

?

F ⇔ X ∈

?

F ∨ Y ∈

?

F ⇔

X 6 F ∨ Y 6 F ⇔ ∀

X

up

X

:

X

6 F ∨ ∀

Y

up

Y

:

Y

6 F ⇔

X

up

X

:

X

F ∨ ∀

Y

up

Y

:

Y

F ⇔

up

X ⊆

S

up

Y ⊆

S

⇔ X ∈

S

∨ Y ∈

S

;

⊥ ∈

S

up

⊥ ⊆

S

⇔ ⊥ ∈

S

what is false.

Proposition

1855

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is primary filtrator over a complete lattice.

2

. (

A

,

Z

) is down-aligned filtrator with join-closed core over a complete lat-

tice.

3

. If

S

is a principal free star on

A

then

S

is a principal free star on

Z

.

Proof.

1

2

It is down-aligned by obvious

503

and with join-closed core by theorem

531

.

2

3

.

d

Z

T

S

d

Z

T

S

d

A

T

S

T

S

6

=

∅ ⇔

T

S

6

=

for

every

T

P

Z

;

/

S

is obvious.

Proposition

1856

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is primary filtrator over a boolean lattice.

3

. If

S

is a principal free star on

Z

then

S

is a principal free star on

A

.

Proof.

1

2

Obvious.