background image

21.18. ON PSEUDOFUNCOIDS

366

21.18.1. More on free stars and principal free stars.

Proposition

1853

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. (

A

,

Z

) is a filtrator.

4

.

F

=

?

F

for every

F ∈

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Obvious.

3

4

.

X

F ⇔

X

6

A

F ⇔

X

?

F ⇔

X

?

F

for every

X

Z

.

Proposition

1854

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice with least element.

3

. (

A

,

Z

) is a filtrator with separable core.

4

.

?

F

=

F

for every

F ∈

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Theorem

537

.

3

4

.

X ∈

F ⇔

up

X ⊆

F ⇔ ∀

X

up

X

:

X

6 F ⇔ X 6 F ⇔ X ∈

?

F

.

Proposition

1855

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a down-aligned, with join-closed, binarily meet-closed and sepa-

rable core which is a complete boolean lattice.

4

. The following conditions are equivalent for any

F ∈

A

:

(a)

F ∈

Z

.

(b)

F

is a principal free star on

Z

.

(c)

?

F

is a principal free star on

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

The filtrator (

A

,

Z

) is with with join-closed core by theorem

534

binarily

meet-closed core by corollary

536

with separable core by theorem

537

.

3

4

.

4

a

4

b

That

F

does not contain the least element is obvious. That

F

is an upper set is obvious. So it remains to apply theorem

583

.

4

b

4

c

That

?

F

does not contain the least element is obvious. That

?

F

is an upper set is obvious. So it remains to apply theorem

583

.

4

c

4

a

Apply theorem

583

.

Proposition

1856

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a join-semilattice.

3

. The filtrator (

A

,

Z

) is weakly down-aligned and with binarily join-closed

core and

Z

is a join-semilattice.

4

. If

S

is a free star on

A

then

S

is a free star on

Z

.