background image

21.18. ON PSEUDOFUNCOIDS

364

Proof.

Our filtrators are with separable core by theorem

534

.

Y

∈ h

Λ

g

i

i

L ⇔

L ∪ {

(

i, Y

)

} ∈

GR

g

up(

L ∪ {

(

i, Y

)

}

)

GR

g

K

up(

L ∪ {

(

i, Y

)

}

) :

K

GR

g

X

up

L

, P

up

Y

:

X

∪ {

(

i, P

)

} ∈

GR

g

X

up

L

, P

up

Y

:

P

6

(val

g

)

i

X

X

up

L

:

Y

6

(val

g

)

i

X

X

up

L

:

Y

(val

g

)

i

X

X

up

L

:

X

∪ {

(

i, Y

)

} ∈

GR

g

X

up

L

:

Y

∈ h

Λ

g

i

X

X

up

L

:

Y

u h

Λ

g

i

X

6

=

⊥ ⇔

/

Y

u h

Λ

g

i

X

X

up

L

(*)

l

Y

u h

Λ

g

i

X

X

up

L

6

=

⊥ ⇔

l

X

up

L

h

Y

ui

h

Λ

g

i

X

6

=

⊥ ⇔

Y

6

l

X

up

L

h

Λ

g

i

X

Y

l

X

up

L

h

Λ

g

i

X

Y

∈ h

Λ

g

i

i

L ⇔

Y

∈ h

Λ

g

i

i

L

.

(*) because

n

Y

uh

Λ

g

i

X

X

up

L

o

is a filter base (by the lemma

1830

of

d

n

Y

uh

Λ

g

i

X

X

up

L

o

.

Definition

1840

.

Fix an indexed family (

A

i

,

Z

i

) of filtrators.

Downgrading

of

a square mult

f

of the form (

A

i

,

A

i

) is the mult

f

of the form (

A

i

,

Z

i

) defined by

the formula

h

f

i

i

=

h

f

i

i

|

Z

i

for every

i

.

Obvious

1841

.

Downgrading of a square multifuncoid is a multifuncoid.

Obvious

1842

.

f

=

f

for every mult

f

of the form (

A

i

,

Z

i

).

Proposition

1843

.

Let

f

be a square mult whose base is a complete lattice.

Then

f

=

f

.

Proof.

h

f

i

X

=

d

X

up

X

h

f

i

X

=

d

X

up

X

h

f

i

X

=

h

f

i

X

for every

X ∈

Q

i

arity

f

(base

f

)

i

.

21.18. On pseudofuncoids

Definition

1844

.

Pseudofuncoid

from a set

A

to a set

B

is a relation

f

between

filters on

A

and

B

such that:

¬

(

I

f

)

,

I t J

f

K ⇔ I

f

K ∨ J

f

K

(for every

I

,

J ∈

F

(

A

),

K ∈

F

(

B

))

,

¬

(

f

I

)

,

K

f

I t J ⇔ K

f

I ∨ K

f

J

(for every

I

,

J ∈

F

(

B

),

K ∈

F

(

A

))

.