background image

21.17. UPGRADING AND DOWNGRADING MULTIFUNCOIDS

363

Proof.

L

i

6 h

f

i

L|

(dom

L

)

\{

i

}

L

i

6 h

f

iL|

(dom

L

)

\{

i

}

L

i

6

l

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

h

f

i

X

L

i

u

l

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

l

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

hL

i

ui

h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

l

L

i

u h

f

i

X

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

6

=

⊥ ⇔

(*)

/

L

i

u h

f

i

X

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

:

L

i

u h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

(**)

L

up

L

:

h

f

i

L

|

dom

L

u

L

i

6

=

⊥ ⇔

L

up

L

:

L

i

6 h

f

i

L

|

dom

L

.

(*) because

n

L

i

uh

f

i

X

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

o

is a filter base (by lemma

1830

of the filter

d

n

L

i

uh

f

i

X

X

up

L|

(dom

L

)

\{

i

}

o

.

(**) by theorem

534

.

Proposition

1836

.

f

is a square multifuncoid, if every ((base

f

)

i

,

(core

f

)

i

)

is a primary filtrator over a bounded meet-semilattice.

Proof.

Our filtrators are with complete base by corollary

515

.

L

i

6 h

f

i

L|

(dom

L

)

\{

i

}

⇔ ∀

L

up

L

:

L

i

6 h

f

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

by the lemma.

Similarly

L

j

6 h

f

i

L|

(dom

L

)

\{

j

}

⇔ ∀

L

up

L

:

L

j

6 h

f

i

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.

So

L

i

6 h

f

i

L|

(dom

L

)

\{

i

}

⇔ L

j

6 h

f

i

L|

(dom

L

)

\{

j

}

because

L

i

6

h

f

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

6 h

f

i

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.

Proposition

1837

.

[

f

]

= [

f

] if every ((base

f

)

i

,

(core

f

)

i

) is a primary

filtrator over a bounded meet-semilattice.

Proof.

Our filtrators are with complete base by corollary

515

.

L ∈

[

f

]

L

i

6 h

f

i

L|

(dom

L

)

\{

i

}

(by the lemma)

L

up

L

:

L

i

6 h

f

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

up

L

:

L

[

f

]

L ∈

[

f

]

.

Proposition

1838

.

L

[

f

]

L

i

6

h

f

iL|

(dom

L

)

\{

i

}

if every

((base

f

)

i

,

(core

f

)

i

) is a primary filtrator over a bounded meet-semilattice.

Proof.

Our filtrators are with complete base by corollary

515

.

The theorem holds because

f

is a multifuncoid and [

f

] = [

f

]

and

h

f

i

=

h

f

i

.

Proposition

1839

.

Λ

g

=

Λ

g

for every prestaroid

g

on boolean lattices.