background image

21.16. COORDINATE-WISE CONTINUITY

361

Proof.

Obviously

id

FCD

Ω(

N

)

6

=

id

FCD

Ω(

R

)

,

but

id

FCD

Ω(

N

)

×

out

id

FCD

Ω(

N

)

=

(

RLD

)

out

id

FCD

Ω(

N

)

×

(

C

)

(

RLD

)

out

id

FCD

Ω(

N

)

=

×

(

C

)

=

(

RLD

)

out

id

FCD

Ω(

R

)

×

(

C

)

(

RLD

)

out

id

FCD

Ω(

R

)

= id

FCD

Ω(

R

)

×

out

id

FCD

Ω(

R

)

.

That is the product

f

×

out

g

is the same if we take

f

=

g

= id

FCD

Ω(

N

)

and if we

take

f

=

g

= id

FCD

Ω(

R

)

.

Question

1829

.

Which of the following are pairwise equal (for a. two funcoids,

b. any (possibly infinite) number of funcoids)?

1

. subatomic product;

2

. displaced product;

3

. cross-inner product.

21.16. Coordinate-wise continuity

Theorem

1830

.

Let

µ

and

ν

be indexed (by some index set

n

) families of

endomorphisms for a quasi-invertible dagger category with star-morphisms, and

f

i

Hom(Ob

µ

i

,

Ob

ν

i

) for every

i

n

. Then:

1

.

i

n

:

f

i

C(

µ

i

, ν

i

)

Q

(

C

)

f

C

Q

(

C

)

µ,

Q

(

C

)

ν

;

2

.

i

n

:

f

i

C

0

(

µ

i

, ν

i

)

Q

(

C

)

f

C

0

Q

(

C

)

µ,

Q

(

C

)

ν

;

3

.

i

n

:

f

i

C

00

(

µ

i

, ν

i

)

Q

(

C

)

f

C

00

Q

(

C

)

µ,

Q

(

C

)

ν

.

Proof.

Using the corollary

1730

:

i

n

:

f

i

C(

µ

i

, ν

i

)

⇔ ∀

i

n

:

f

i

µ

i

v

ν

i

f

i

(

C

)

Y

i

n

(

f

i

µ

i

)

v

(

C

)

Y

i

n

(

ν

i

f

i

)

(

C

)

Y

f

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

ν

(

C

)

Y

f

(

C

)

Y

f

C

(

C

)

Y

µ,

(

C

)

Y

ν

.

i

n

:

f

i

C

0

(

µ

i

, ν

i

)

⇔ ∀

i

n

:

µ

i

v

f

i

ν

i

f

i

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

i

n

(

f

i

ν

i

f

i

)

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

µ

v

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

f

C

0

(

C

)

Y

µ,

(

C

)

Y

ν

.

i

n

:

f

i

C

00

(

µ

i

, ν

i

)

⇔ ∀

i

n

:

f

i

µ

i

f

i

v

ν

i

(

C

)

Y

i

n

(

f

i

µ

i

f

i

)

v

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

µ

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

v

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

(

C

)

Y

i

n

µ

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

v

(

C

)

Y

i

n

ν

i

(

C

)

Y

i

n

f

i

C

00

(

C

)

Y

µ,

(

C

)

Y

ν

.