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2.3. INTRO TO GROUP THEORY

35

Definition

196

.

A

group

is a pair of a set

G

and a binary operation

·

on

G

such that:

1

. (

h

·

g

)

·

f

=

h

·

(

g

·

f

) for every

f, g, h

G

.

2

. There exists an element

e

(

identity

) of

G

such that

f

·

e

=

e

·

f

=

f

for

every

f

G

.

3

. For every element

f

there exists an element

f

1

(

inverse

of

f

) such that

f

·

f

1

=

f

1

·

f

=

e

.

Obvious

197

.

Every group is a semigroup.

Proposition

198

.

In every group there exists exactly one identity element.

Proof.

If

p

and

q

are both identities, then

p

=

p

·

q

=

q

.

Proposition

199

.

Every group element has exactly one inverse.

Proof.

Let

p

and

q

be both inverses of

f

G

. Then

f

·

p

=

p

·

f

=

e

and

f

·

q

=

q

·

f

=

e

. Then

p

=

p

·

e

=

p

·

f

·

q

=

e

·

q

=

q

.

Proposition

200

.

(

g

·

f

)

1

=

f

1

·

g

1

for every group elements

f

and

g

.

Proof.

(

f

1

·

g

1

)

·

(

g

·

f

) =

f

1

·

g

1

·

g

·

f

=

f

1

·

e

·

f

=

f

1

·

f

=

e

. Similarly

(

g

·

f

)

·

(

f

1

·

g

1

) =

e

. So

f

1

·

g

1

is the inverse of

g

·

f

.

Definition

201

.

A

permutation group

on a set

D

is a group whose elements

are functions on

D

and whose composition is function composition.

Obvious

202

.

Elements of a permutation group are bijections.

Definition

203

.

A

transitive

permutation group on a set

D

is such a per-

mutation group

G

on

D

that for every

x, y

D

there exists

r

G

such that

y

=

r

(

x

).

A groupoid with single (arbitrarily chosen) object corresponds to every group.

The morphisms of this category are elements of the group and the composition of

morphisms is the group operation.