background image

21.11. MULTIRELOIDS

347

21.11. Multireloids

Definition

1762

.

I will call a

multireloid

of the form

A

=

A

i

n

, where every

each

A

i

is a set, a pair (

f, A

) where

f

is a filter on the set

Q

A

.

Definition

1763

.

I will denote Obj(

f, A

) =

A

and GR(

f, A

) =

f

for every

multireloid (

f, A

).

I will denote

RLD

(

A

) the set of multireloids of the form

A

.

The multireloid

RLD

(

A

)

F

for a relation

F

is defined by the formulas:

Obj

RLD

(

A

)

F

=

A

and GR

RLD

(

A

)

F

=

Q

A

F.

For an anchored relation

f

I define Obj

f

= form

f

and GR

f

=

Q

form

f

GR

f

.

Let

a

be a multireloid of the form

A

and dom

A

=

n

.

Let every

f

i

be a reloid with Src

f

i

=

A

i

.

The star-composition of

a

with

f

is a multireloid of the form

λi

dom

A

: Dst

f

i

defined by the formulas:

arity StarComp(

a, f

) =

n

;

GR StarComp(

a, f

) =

RLD

(

A

)

l

GR StarComp(

A, F

)

A

GR

a, F

Q

i

n

GR

f

i

;

Obj

m

StarComp(

a, f

) =

λi

n

: Dst

f

i

.

Theorem

1764

.

Multireloids with above defined compositions form a quasi-

invertible category with star-morphisms.

Proof.

We need to prove:

1

. StarComp(StarComp(

m, f

)

, g

) = StarComp(

m, λi

arity

m

:

g

i

f

i

);

2

. StarComp(

m, λi

arity

m

: 1

Obj

m

i

) =

m

;

3

.

b

6

StarComp(

a, f

)

a

6

StarComp(

b, f

)

(the rest is obvious).

Really,

1

Using properties of generalized filter bases,

StarComp(StarComp(

a, f

)

, g

) =

RLD

l

StarComp(

B, G

)

B

GR StarComp(

a, f

)

, G

Q

i

n

GR

g

i

=

RLD

l

StarComp(StarComp(

A, F

)

, G

)

A

GR

a, F

Q

i

n

GR

f

i

, G

Q

i

n

GR

g

i

=

RLD

l

StarComp(

A, G

F

)

A

GR

a, F

Q

i

n

GR

f

i

, G

Q

i

n

GR

g

i

=

RLD

l

StarComp(

A, H

)

A

GR

a, H

Q

i

n

GR(

g

i

f

i

)

=

StarComp(

a, λi

arity

n

:

g

i

f

i

)

.