background image

2.3. INTRO TO GROUP THEORY

34

Figure 1.

f

h

1

h

g

1

f

1

g

That the diagram is commutative follows from it (because for paths

σ

,

τ

we

have the paths

σ

τ

1

and

τ

σ

1

being identities).

Lemma

194

.

Let

f

,

g

,

h

,

t

be isomorphisms. Let

t

h

g

f

= 1

Src

f

. The

diagram at the figure

2

is commutative, every cycle in the diagram is an identity.

Figure 2.

(0,0)

(0,1)

(1,0)

(1,1)

f

t

1

g

f

1

t

h

1

h

g

1

Proof.

Assign to every vertex (

i, j

) of the diagram morphism

W

(

i, j

) defined

by the table

1

.

Table 1.

i

j

W

(

i, j

)

0 0

1

Src

f

0 1

f

1 0

t

1

1 1

g

f

It is easy to verify by induction that the morphism corresponding every cycle in

the diagram starting at the vertex (0

,

0) and ending with a vertex (

x, y

) is

W

(

x, y

).

Thus the morphism corresponding to every cycle starting at the vertex (0

,

0) is

identity.

By symmetry, the morphism corresponding to every cycle is identity.

That the diagram is commutative follows from it (because for paths

σ

,

τ

we

have the paths

σ

τ

1

and

τ

σ

1

being identities).

2.3. Intro to group theory

Definition

195

.

A

semigroup

is a pair of a set

G

and an associative binary

operation on

G

.