 21.9. STAR CATEGORIES

337

1

(

h

g

)

f

=

λi

dom

f

: (

h

i

g

i

)

f

i

=

λi

dom

f

:

h

i

(

g

i

f

i

) =

h

(

g

f

);

g

(

f

m

) = StarComp(StarComp(

m, f

)

, g

) =

StarComp(

m, λi

arity

m

:

g

i

f

i

) = StarComp(

m, g

f

) = (

g

f

)

m

;

f

(

m

1

None

) =

f

m

= (

f

m

)

1

None

.

2

.

m

1

None

=

m

; 1

Dst

m

m

= StarComp(

m, λi

arity

m

: 1

Obj

m

i

) =

m

.

Remark

1717

.

I call the above defined category

abrupt category

because (ex-

cluding identity morphisms) it allows composition with an

m

M

only on the left

(not on the right) so that the morphism

m

is “abrupt” on the right.

By

J

x

0

, . . . , x

n

1

K

I denote an

n

-tuple.

Definition

1718

.

Precategory with star morphisms

induced

by a dagger pre-

category

C

is:

The base category is

C

.

Star-morphisms are morphisms of

C

.

arity

f

=

{

0

,

1

}

.

Obj

m

=

J

Src

m,

Dst

m

K

.

StarComp(

m,

J

f, g

K

) =

g

m

f

.

Let prove it is really a precategory with star-morphisms.

Proof.

We need to prove the associativity law:

StarComp(StarComp(

m,

J

f, g

K

)

,

J

p, q

K

) = StarComp(

m,

J

p

f, q

g

K

)

.

Really,

StarComp(StarComp(

m,

J

f, g

K

)

,

J

p, q

K

) = StarComp(

g

m

f

,

J

p, q

K

) =

q

g

m

f

p

=

q

g

m

(

p

f

)

= StarComp(

m,

J

p

f, q

g

K

)

.

Definition

1719

.

Category with star morphisms

induced

by a dagger cate-

gory

C

is the above defined precategory with star-morphisms.

That it is a category (the law of composition with identity) is trivial.

Remark

1720

.

We can carry definitions (such as below defined cross-

composition product) from categories with star-morphisms into plain dagger cat-

egories. This allows us to research properties of cross-composition product of in-

dexed families of morphisms for categories with star-morphisms without separately

considering the special case of dagger categories and just binary star-composition

product.

21.9.1. Abrupt of quasi-invertible categories with star-morphisms.

Definition

1721

.

The abrupt partially ordered precategory of a partially or-

dered precategory with star-morphisms is the abrupt precategory with the following

order of morphisms:

Indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of morphisms of

C

are

ordered as function spaces of posets.

Star-morphisms (which are morphisms None

Obj

m

for some

m

M

)

are ordered in the same order as in the precategory with star-morphisms.

Morphisms None

None which are only the identity morphism ordered

by the unique order on this one-element set.