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21.9. STAR CATEGORIES

336

for every

m

0

, m

1

M

such that Obj

m

0

= Obj

m

1

and indexed families

f

0

and

f

1

of

morphisms such that

i

arity

m

: Src

f

0

i

= Src

f

1

i

= Obj

m

0

i

= Obj

m

1

i

;

i

arity

m

: Dst

f

0

i

= Dst

f

1

i.

Definition

1717

.

A

partially ordered category with star-morphisms

is a cate-

gory with star-morphisms which is also a partially ordered precategory with star-

morphisms.

Definition

1718

.

A

quasi-invertible

precategory with star-morphisms is a par-

tially ordered precategory with star-morphisms whose base precategory is a quasi-

invertible precategory, such that for every index set

n

, star-morphisms

a

and

b

of

arity

n

, and an

n

-indexed family

f

of morphisms of the base precategory it holds

b

6

StarComp(

a, f

)

a

6

StarComp(

b, f

)

.

(Here

f

=

λi

dom

f

: (

f

i

)

.)

Definition

1719

.

A

quasi-invertible

category with star-morphisms is a

quasi-invertible precategory with star-morphisms which is a category with star-

morphisms.

Each category with star-morphisms gives rise to a category (

abrupt category

,

see a remark below why I call it “abrupt”), as described below. Below for simplicity

I assume that the set

M

and the set of our indexed families of functions are disjoint.

The general case (when they are not necessarily disjoint) may be easily elaborated

by the reader.

Objects are indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of objects of

the category

C

and an (arbitrarily chosen) object None not in this set.

There are the following disjoint sets of morphisms:

1

. indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of morphisms of

C

;

2

. elements of

M

;

3

. the identity morphism 1

None

on None.

Source and destination of morphisms are defined by the formulas:

Src

f

=

λi

dom

f

: Src

f

i

;

Dst

f

=

λi

dom

f

: Dst

f

i

;

Src

m

= None;

Dst

m

= Obj

m

.

Compositions of morphisms are defined by the formulas:

g

f

=

λi

dom

f

:

g

i

f

i

for our indexed families

f

and

g

of

morphisms;

f

m

= StarComp(

m, f

) for

m

M

and a composable indexed family

f

;

m

1

None

=

m

for

m

M

;

1

None

1

None

= 1

None

.

Identity morphisms for an object

X

are:

λi

X

: 1

X

i

if

X

6

= None;

1

None

if

X

= None.

Proof.

We need to prove it is really a category.

We need to prove:

1

. Composition is associative.

2

. Composition with identities complies with the identity law.

Really: