 21.9. STAR CATEGORIES

336

for every

m

0

, m

1

M

such that Obj

m

0

= Obj

m

1

and indexed families

f

0

and

f

1

of

morphisms such that

i

arity

m

: Src

f

0

i

= Src

f

1

i

= Obj

m

0

i

= Obj

m

1

i

;

i

arity

m

: Dst

f

0

i

= Dst

f

1

i.

Definition

1717

.

A

partially ordered category with star-morphisms

is a cate-

gory with star-morphisms which is also a partially ordered precategory with star-

morphisms.

Definition

1718

.

A

quasi-invertible

precategory with star-morphisms is a par-

tially ordered precategory with star-morphisms whose base precategory is a quasi-

invertible precategory, such that for every index set

n

, star-morphisms

a

and

b

of

arity

n

, and an

n

-indexed family

f

of morphisms of the base precategory it holds

b

6

StarComp(

a, f

)

a

6

StarComp(

b, f

)

.

(Here

f

=

λi

dom

f

: (

f

i

)

.)

Definition

1719

.

A

quasi-invertible

category with star-morphisms is a

quasi-invertible precategory with star-morphisms which is a category with star-

morphisms.

Each category with star-morphisms gives rise to a category (

abrupt category

,

see a remark below why I call it “abrupt”), as described below. Below for simplicity

I assume that the set

M

and the set of our indexed families of functions are disjoint.

The general case (when they are not necessarily disjoint) may be easily elaborated

Objects are indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of objects of

the category

C

and an (arbitrarily chosen) object None not in this set.

There are the following disjoint sets of morphisms:

1

. indexed (by arity

m

for some

m

M

) families of morphisms of

C

;

2

. elements of

M

;

3

. the identity morphism 1

None

on None.

Source and destination of morphisms are defined by the formulas:

Src

f

=

λi

dom

f

: Src

f

i

;

Dst

f

=

λi

dom

f

: Dst

f

i

;

Src

m

= None;

Dst

m

= Obj

m

.

Compositions of morphisms are defined by the formulas:

g

f

=

λi

dom

f

:

g

i

f

i

for our indexed families

f

and

g

of

morphisms;

f

m

= StarComp(

m, f

) for

m

M

and a composable indexed family

f

;

m

1

None

=

m

for

m

M

;

1

None

1

None

= 1

None

.

Identity morphisms for an object

X

are:

λi

X

: 1

X

i

if

X

6

= None;

1

None

if

X

= None.

Proof.

We need to prove it is really a category.

We need to prove:

1

. Composition is associative.

2

. Composition with identities complies with the identity law.

Really: