background image

21.9. STAR CATEGORIES

335

1

.

Q

(ord)

F

is a prestaroid if every

F

i

is a prestaroid.

2

.

Q

(ord)

F

is a staroid if every

F

i

is a staroid.

3

.

Q

(ord)

F

is a completary staroid if every

F

i

is a completary staroid.

Proof.

Use the fact that GR

Q

(ord)

F

=

F

(

L

(dom

F

)

)

1

F

GR

Q

(

D

)

f

.

Definition

1707

.

f

×

(ord)

g

=

Q

(ord)

J

f, g

K

.

Remark

1708

.

If

f

and

g

are binary funcoids, then

f

×

(ord)

g

is ternary.

21.9. Star categories

Definition

1709

.

A

precategory with star-morphisms

consists of

1

. a precategory

C

(

the base precategory

);

2

. a set

M

(

star-morphisms

);

3

. a function “arity” defined on

M

(how many objects are connected by this

star-morphism);

4

. a function Obj

m

: arity

m

Obj(

C

) defined for every

m

M

;

5

. a function (

star composition

) (

m, f

)

7→

StarComp(

m, f

) defined for

m

M

and

f

being an (arity

m

)-indexed family of morphisms of

C

such

that

i

arity

m

: Src

f

i

= Obj

m

i

(Src

f

i

is the source object of the

morphism

f

i

) such that

such that it holds:

1

. StarComp(

m, f

)

M

;

2

. arity StarComp(

m, f

) = arity

m

;

3

. Obj

StarComp(

m,f

)

i

= Dst

f

i

;

4

. (

associativity law

)

StarComp(StarComp(

m, f

)

, g

) = StarComp(

m, λi

arity

m

:

g

i

f

i

)

.

The meaning of the set

M

is an extension of

C

having as morphisms things

with arbitrary (possibly infinite) indexed set Obj

m

of objects, not just two objects

as morphisms of

C

have only source and destination.

Definition

1710

.

I will call Obj

m

the

form

of the star-morphism

m

.

(Having fixed a precategory with star-morphisms) I will denote StarHom(

P

)

the set of star-morphisms of the form

P

.

Proposition

1711

.

The sets StarHom(

P

) are disjoint (for different

P

).

Proof.

If two star-morphisms have different forms, they are clearly not equal.

Definition

1712

.

A

category with star-morphisms

is a precategory with star-

morphisms whose base is a category and the following equality (

the law of compo-

sition with identity

) holds for every star-morphism

m

:

StarComp(

m, λi

arity

m

: 1

Obj

m

i

) =

m.

Definition

1713

.

A

partially ordered precategory with star-morphisms

is a

category with star-morphisms, whose base precategory is a partially ordered pre-

category and every set StarHom(

X

) is partially ordered for every

X

, such that:

m

0

v

m

1

f

0

v

f

1

StarComp(

m

0

, f

0

)

v

StarComp(

m

1

, f

1

)