background image

21.7. INFINITE PRODUCT OF POSET ELEMENTS

331

Proof.

GR

Strd

(

Z

)

Y

A

=

(

L

Q

A

up

L

Q

Strd

(

Z

)

A

)

=

L

Q

A

K

up

L, i

dom

A

:

A

i

6

K

i

=

L

Q

A

i

dom

A

, K

up

L

i

:

A

i

6

K

=

L

Q

A

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

=

GR

Strd

(

A

)

Y

A.

Proposition

1693

.

Let (

Q

A

,

Q

Z

) be a meet-closed filtrator,

A

Q

Z

. Then

Q

Strd

(

A

)

A

=

Q

Strd

(

Z

)

A

.

Proof.

GR

Strd

(

A

)

Y

A

=

GR

Strd

(

A

)

Y

A

=

L

Q

A

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

=

L

Q

A

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

Y

Z

=

L

Q

Z

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

=

GR

Strd

(

Z

)

Y

A.

Corollary

1694

.

If each (

A

i

,

Z

i

) is a powerset filtrator and

A

Q

Z

, then

Q

Strd

(

A

)

A

is a principal staroid.

Proof.

Use the “obvious” fact above.

Theorem

1695

.

Let

F

be a family of sets of filters on meet-semilattices with

least elements. Let

a

Q

F

,

S

P

Q

F

, and every Pr

i

S

be a generalized filter

base,

d

S

=

a

. Then

Strd

(

F

)

Y

a

=

l

A

S

Strd

(

F

)

Y

A.

Proof.

That

Q

Strd

(

F

)

a

is a lower bound for

 Q

Strd

(

F

)

A

A

S

is obvious.

Let

f

be a lower bound for

 Q

Strd

(

F

)

A

A

S

.

Thus

A

S

: GR

f

GR

Q

Strd

(

F

)

A

. Thus for every

A

S

we have

L

GR

f

implies

i

dom

A

: