background image

21.7. INFINITE PRODUCT OF POSET ELEMENTS

330

Proof.

We need to prove

i

dom

A

:

A

i

6

(

L

0

i

t

L

1

i

)

⇔ ∃

c

∈ {

0

,

1

}

n

i

dom

A

:

A

i

6

L

c

(

i

)

i.

Really,

i

dom

A

:

A

i

6

(

L

0

i

t

L

1

i

)

⇔ ∀

i

dom

A

: (

A

i

6

L

0

i

A

i

6

L

1

i

)

c

∈ {

0

,

1

}

dom

A

i

dom

A

:

A

i

6

L

c

(

i

)

i.

Definition

1689

.

Let (

A

i

,

Z

i

) be an indexed family of filtrators and every

A

i

has least element.

Then for every

A

Q

A

funcoidal product

is multifuncoid

Q

FCD

(

A

)

A

defined

by the formula (for every

L

Q

Z

):

*

FCD

(

A

)

Y

A

+

k

L

=

A

k

if

i

(dom

A

)

\ {

k

}

:

A

i

6

L

i

A

otherwise

.

Proposition

1690

.

GR

Q

Strd

(

A

)

A

=

h

Q

FCD

(

A

)

A

i

.

Proof.

L

GR

Strd

(

A

)

Y

A

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

i

(dom

A

)

\ {

k

}

:

A

i

6

L

i

L

k

6

A

k

L

k

6

*

FCD

(

A

)

Y

A

+

k

L

|

(dom

A

)

\{

k

}

L

FCD

(

A

)

Y

A

.

Corollary

1691

.

Funcoidal product is a completary multifuncoid.

Proof.

It is enough to prove that funcoidal product is a multifuncoid. Really,

L

i

6

*

FCD

(

A

)

Y

A

+

i

L

|

(dom

A

)

\{

i

}

⇔ ∀

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

L

j

6

*

FCD

(

A

)

Y

A

+

j

L

|

(dom

A

)

\{

j

}

.

Theorem

1692

.

If our each filtrator (

A

i

,

Z

i

) is with separable core and

A

Q

Z

, then

Q

Strd

(

Z

)

A

=

Q

Strd

(

A

)

A

.