background image

21.7. INFINITE PRODUCT OF POSET ELEMENTS

329

21.7. Infinite product of poset elements

Let

A

i

be a family of elements of a family

A

i

of posets. The

staroidal product

Q

Strd

(

A

)

A

is defined by the formula (for every

L

Q

A

)

form

Strd

(

A

)

Y

A

=

A

and

L

GR

Strd

(

A

)

Y

A

⇔ ∀

i

dom

A

:

A

i

6

L

i

.

Proposition

1688

.

If

A

i

are powerset algebras, staroidal product of principal

filters is essentially equivalent to Cartesian product. More precisely,

Q

Strd

i

dom

A

F

A

i

=

Strd

Q

A

for an indexed family

A

of sets.

Proof.

L

GR

Strd

Y

A

up

L

GR

Strd

Y

A

X

up

L

:

Y

X

6

Y

A

X

up

L, i

dom

A

:

X

i

6

A

i

i

dom

A

:

L

i

6↑

F

A

i

L

GR

Strd

Y

i

dom

A

F

A

i

.

Corollary

1689

.

Staroidal product of principal filters is an upgraded princi-

pal staroid.

Proposition

1690

.

Q

Strd

a

=

Q

Strd

a

if each

a

i

A

i

(for

i

n

where

n

is

some index set) where each (

A

i

n

,

Z

i

n

) is a filtrator with separable core.

Proof.

GR

Strd

Y

a

=

(

L

Q

A

up

L

Z

GR

Q

Strd

a

)

=

(

L

Q

A

up

L

GR

Q

Strd

a

)

=

(

L

Q

A

K

up

L

:

K

GR

Q

Strd

a

)

=

L

Q

A

K

up

L, i

n

:

K

i

6

a

i

=

L

Q

A

i

n, K

up

L

:

K

i

6

a

i

=

L

Q

A

i

n

:

L

i

6

a

i

=

GR

Strd

Y

a

(taken into account that our filtrators are with a separable core).

Theorem

1691

.

Staroidal product is a completary staroid (if our posets are

starrish join-semilattices).