 21.6. JOIN OF MULTIFUNCOIDS

327

The reverse implication is obvious. Let

L ∪ {

(

i,

X t Y

)

} ∈

GR

f

. Then for every

L

up

L

and

X

up

X

,

Y

up

Y

we have

L

∪ {

(

i, X

t

Z

i

Y

)

} ∈

GR

f

and thus

L

∪ {

(

i, X

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

i, Y

)

} ∈

GR

f

consequently

L ∪ {

(

i,

X

)

} ∈

GR

f

∨ L ∪ {

(

i,

Y

)

} ∈

GR

f

.

It is left to prove that

f

is an upper set, but this is obvious.

There is a conjecture similar to the above theorems:

Conjecture

1679

.

L

[

f

]

[

f

]

Q

i

dom

A

atoms

L

i

6

=

for every

multifuncoid

f

for the filtrator (

F

n

,

Z

n

).

Conjecture

1680

.

Let (

A

,

Z

) be a powerset filtrator, let

n

be an index set.

Consider the filtrator (

F

n

,

Z

n

). Then if

f

is a completary staroid of the form

Z

n

,

then

f

is a completary staroid of the form

A

n

.

Example

1681

.

There is such an anchored relation

f

that for some

k

dom

f

h

f

i

k

L 6

=

l

a

Q

i

(dom

f

)

\{

k

}

atoms

L

i

h

f

i

k

a.

Proof.

Take

P ∈

GR

f

from the counter-example

1664

We have

a

Y

i

dom

f

atoms

P

i

:

a /

GR

P

.

Take

k

= 1.

Let

L

=

P|

(dom

f

)

\{

k

}

. Then

a /

GR

f

and thus

a

k

h

f

i

k

a

|

(dom

f

)

\{

k

}

.

Consequently

P

k

h

f

i

k

a

|

(dom

f

)

\{

k

}

and

thus

P

k

d

a

Q

i

(dom

f

)

\{

k

}

atoms

L

i

h

f

i

k

a

because

P

k

is principal.

But

P

k

6

h

f

i

k

L

.

Thus

follows

h

f

i

k

L

6

=

d

a

Q

i

(dom

f

)

\{

k

}

atoms

L

i

h

f

i

k

a

.

21.6. Join of multifuncoids

Mults are ordered by the formula

f

v

g

⇔ h

f

i

v h

g

i

where

v

in the right

part of this formula is the product order. I will denote

u

,

t

,

d

,

d

(without an

index) the order poset operations on the poset of mults.

Remark

1682

.

To describe this, the definition of product order is used twice.

Let

f

and

g

be mults of the same form (

A

,

Z

)

h

f

i

v h

g

i

⇔ ∀

i

dom

Z

:

h

f

i

i

v h

g

i

i

;

h

f

i

i

v h

g

i

i

⇔ ∀

L

Y

Z

|

(dom

Z

)

\{

i

}

:

h

f

i

i

L

v h

g

i

i

L.

Obvious

1683

.

(

d

F

)

K

=

d

f

F

f K

for every set

F

of mults of the same form

Z

and

K

Q

Z

whenever every

d

f

F

f K

is defined.

Theorem

1684

.

f

t

pFCD

(

A

)

g

=

f

t

g

for every multifuncoids

f

and

g

for the

same indexed family of starrish join-semilattices filtrators.

Proof.

α

i

x

def

=

h

f

i

i

x

t h

g

i

i

x

. It is enough to prove that

α

is a multifuncoid.

We need to prove:

L

i

6

α

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

6

α

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.