background image

21.5. MULTIFUNCOIDS

326

Let now

g

0

be a prestaroid,

f

be a prestaroidal mult corresponding to

g

0

by

formula (

35

), and

g

1

be a prestaroid corresponding to

f

by formula (

34

). Let’s

prove

g

0

=

g

1

. Really,

K

GR

g

1

K

i

∈ h

f

i

i

K

|

(dom

L

)

\{

i

}

K

|

(dom

L

)

\{

i

}

∪{

(

i, K

i

)

} ∈

GR

g

0

K

GR

g

0

.

Definition

1671

.

I will denote [

f

]

= GR

g

for the prestaroidal mult

f

corre-

sponding to anchored relation

g

.

Proposition

1672

.

For a form (

Z

, λi

dom

Z

:

S

(

Z

i

)) where each

Z

i

is a

boolean lattice, relational mults are the same as multifuncoids (if we equate poset

elements with principal free stars).

Proof.

(

L

i

6 h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

6 h

f

i

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

)

(

L

i

h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

h

f

i

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

)

(

L

i

∈ h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

∈ h

f

i

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

)

.

Theorem

1673

.

Fix some indexed family

Z

of join semi-lattices.

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

t

Y

)

}

) = (val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

)

}

)

t

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, Y

)

}

)

for every prestaroid

f

of the form

Z

and

i, j

arity

f

,

i

6

=

j

,

L

Q

k

L

\{

i,j

}

Z

k

,

X, Y

Z

i

.

Proof.

Let

i, j

arity

f

,

i

6

=

j

and

L

Q

k

L

\{

i,j

}

Z

k

. Let

Z

Z

i

.

Z

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

t

Y

)

}

)

L

∪ {

(

i, X

t

Y

)

,

(

j, Z

)

} ∈

GR

f

X

t

Y

(val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j, Z

)

}

)

X

(val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j, Z

)

}

)

Y

(val

f

)

i

(

L

∪ {

(

j, Z

)

}

)

L

∪ {

(

i, X

)

,

(

j, Z

)

} ∈

GR

f

L

∪ {

(

i, Y

)

,

(

j, Z

)

} ∈

GR

f

Z

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

)

}

)

Z

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, Y

)

}

)

Z

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

)

}

)

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, Y

)

}

)

Z

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

)

}

)

t

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, Y

)

}

)

Thus (val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

t

Y

)

}

) = (val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

)

}

)

t

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, Y

)

}

).

Let us consider the filtrator

Q

i

arity

f

S

((form

f

)

i

)

,

Q

i

arity

f

(form

f

)

i

.

Conjecture

1674

.

A finitary anchored relation between join-semilattices is a

staroid iff (val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

t

Y

)

}

) = (val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, X

)

}

)

t

(val

f

)

j

(

L

∪ {

(

i, Y

)

}

)

for every

i, j

arity

f

(

i

6

=

j

) and

X, Y

(form

f

)

i

.

Theorem

1675

.

Let (

A

i

,

Z

i

) be a family of join-closed down-aligned filtrators

whose both base and core are join-semilattices. Let

f

be a staroid of the form

Z

.

Then

f

is a staroid of the form

A

.

Proof.

First prove that

f

is a prestaroid. We need to prove that

/

(GR

f

)

i

(that is up

*

(GR

f

)

i

that is

/

(GR

f

)

i

what is true by the

theorem conditions) and that for every

X

,

Y ∈

A

i

and

L ∈

Q

i

(arity

f

)

\{

i

}

A

i

where

i

arity

f

L ∪ {

(

i,

X t Y

)

} ∈

GR

f

⇔ L ∪ {

(

i,

X

)

} ∈

GR

f

∨ L ∪ {

(

i,

Y

)

} ∈

GR

f.