background image

21.5. MULTIFUNCOIDS

325

Conjecture

1662

.

Filtrators of staroids on powersets are join-closed.

21.5. Multifuncoids

Definition

1663

.

Let (

A

i

,

Z

i

) (where

i

n

for an index set

n

) be an indexed

family of filtrators.

I call a

mult

f

of the form (

A

i

,

Z

i

) the triple

f

= (base

f,

core

f,

h

f

i

) of

n

-

indexed families of posets base

f

and core

f

and

h

f

i

of functions where for every

i

n

h

f

i

i

:

Y

(core

f

)

i

|

(dom

A

)

\{

i

}

(base

f

)

i

.

I call (base

f,

core

f

) the

form

of the mult

f

.

Remark

1664

.

I call it

mult

because it comprises multiple functions

h

f

i

i

.

Definition

1665

.

A mult

on powersets

is a mult such that every

((base

f

)

i

,

(core

f

)

i

) is a powerset filtrator.

Definition

1666

.

I will call a

relational mult

a mult

f

such that every (base

f

)

i

is a set and for every

i, j

n

and

L

Q

core

f

L

i

∈ h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

∈ h

f

i

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.

I denote arity

f

=

n

.

Definition

1667

.

Prestaroidal mult

is a relational mult of the form (

A

, λi

dom

A

:

S

(

A

i

)) (where

A

is a poset), that is such that

h

f

i

i

L

is a free star for every

i

n

and

L

Q

i

(dom

L

)

\{

i

}

core

f

i

.

Definition

1668

.

I will call a

multifuncoid

a mult

f

such that (core

f

)

i

(base

f

)

i

(thus having a filtrator ((base

f

)

i

,

(core

f

)

i

)) for each

i

n

and for every

i, j

n

and

L

Q

core

f

L

i

6 h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

L

j

6 h

f

i

j

L

|

(dom

L

)

\{

j

}

.

(33)

I denote the set of multifuncoids for a family (

A

,

Z

) of filtrators as

pFCD

(

A

,

Z

) or

just

pFCD

(

A

) when

Z

is clear from context.

Definition

1669

.

To every multifuncoid

f

corresponds an anchored relation

g

by the formula (with arbitrary

i

arity

f

)

L

GR

g

L

i

6 h

f

i

i

L

|

(dom

L

)

\{

i

}

.

Proposition

1670

.

Prestaroidal mults Λ

g

=

f

of the form (

Z

, λi

dom

Z

:

S

(

Z

i

)) bijectively correspond to pre-staroids

g

of the form

Z

by the formulas (for

every

K

Q

Z

,

i

dom

Z

,

L

Q

j

(dom

A

)

\{

i

}

Z

j

,

X

Z

i

)

K

GR

g

K

i

∈ h

f

i

i

K

|

(dom

L

)

\{

i

}

;

(34)

X

∈ h

f

i

i

L

L

∪ {

(

i, X

)

} ∈

GR

g.

(35)

Proof.

If

f

is a prestaroidal mult, then obviously formula (

34

defines an

anchored relation between posets. (val

g

)

i

=

h

f

i

i

L

is a free star. Thus

g

is a

prestaroid.

If

g

is a prestaroid, then obviously formula (

35

defines a relational mult. This

mult is obviously prestaroidal.

It remains to prove that these correspondences are inverse of each other.

Let

f

0

be a prestaroidal mult,

g

be the pre-staroid corresponding to

f

by

formula (

34

), and

f

1

be the prestaroidal mult corresponding to

g

by formula (

35

).

Let’s prove

f

0

=

f

1

. Really,

X

∈ h

f

1

i

i

L

L

∪ {

(

i, X

)

} ∈

GR

g

X

∈ h

f

0

i

i

L.