background image

21.4. PRINCIPAL STAROIDS

324

Really

Y

(

L

0

t

L

1

)

6

F

x

Y

(

L

0

t

L

1

) :

x

F

x

Y

i

arity

f

(form

f

)

i

i

arity

f

: (

x

i

L

0

i

t

L

1

i

x

F

)

x

Y

i

arity

f

(form

f

)

i

i

arity

f

: ((

x

i

L

0

i

x

i

L

1

i

)

x

F

)

x

Y

i

arity

f

(form

f

)

i

c

∈ {

0

,

1

}

arity

f

:

x

Y

i

arity

f

L

c

(

i

)

i

x

F

c

∈ {

0

,

1

}

arity

f

:

Y

i

n

L

c

(

i

)

i

6

F.

Definition

1658

.

The

upgraded staroid generated

by an anchored relation

F

is the anchored relation

Strd

F

.

Proposition

1659

.

Strd

F

=

Strd

F

.

Proof.

Because GR

Strd

F

is an upper set.

Example

1660

.

There is such anchored relation

f

that

f

is not a com-

pletary staroid. This also proves existence of non-completary staroids (but not on

powersets).

Proof.

(based on an

Andreas Blass

’s proof) Take

f

the set of functions

x

:

N

N

where

x

0

is an arbitrary natural number and

x

i

=

0 if

n

6

x

0

1 if

n > x

0

for

i

= 1

,

2

,

3

, . . .

. Thus

f

is the graph of a staroid of the form

λi

N

:

P

N

(on

powersets).

Let

L

0

(0) =

L

1

(0) = Ω(

N

),

L

0

(

i

) =

↑ {

0

}

and

L

1

(

i

) =

↑ {

1

}

for

i >

0.

Let

X

up(

L

0

t L

1

) that is

X

up

L

0

up

L

1

.

X

0

contains all but finitely many elements of

N

.

For

i >

0 we have

{

0

,

1

} ⊆

X

i

.

Evidently,

Q

X

contains an element of

f

, that is up(

L

0

t L

1

)

f

what means

L

0

t L

1

f

.

Now consider any fixed

c

∈ {

0

,

1

}

N

. There is at most one

k

N

such that

the sequence

x

=

J

k, c

(1)

, c

(2)

, . . .

K

(i.e.

c

with

c

(0) replaced by

k

) is in

f

. Let

Q

=

N

\ {

k

}

if there is such a

k

and

Q

=

N

otherwise.

Take

Y

i

=

Q

if

i

= 0

{

c

(

i

)

}

if

i >

0 for

i

= 0

,

1

,

2

, . . .

. We have

Y

up(

λi

N

:

L

c

(

i

)

(

i

)) for every

c

∈ {

0

,

1

}

n

.

But evidently

Q

Y

does not contain an element of

f

. Thus,

Q

Y

f

that is

Y /

f

; up

Y

*

f

;

Y /

GR

f

what is impossible if

f

is completary.

Example

1661

.

There exists such an (infinite) set

N

and

N

-ary relation

f

that

P ∈

GR

f

but there is no indexed family

a

Q

i

N

atoms

P

i

of atomic

filters such that

a

GR

f

that is

A

up

a

:

f

6

Q

A

.

Proof.

Take

L

0

,

L

1

and

f

from the proof of example

1660

Take

P

=

L

0

t L

1

.

If

a

Q

i

N

atoms

P

i

then there exists

c

∈ {

0

,

1

}

N

such that

a

i

v L

c

(

i

)

(

i

) (because

L

c

(

i

)

(

i

)

6

=

). Then from that example it follows that (

λi

N

:

L

c

(

i

)

(

i

))

/

GR

f

and thus

a /

GR

f

.