background image

2.2. INTRO TO CATEGORY THEORY

31

2.1.15. Dual pseudocomplement on co-Heyting lattices.

Theorem

166

.

For co-Heyting algebras

> \

b

=

b

+

.

Proof.

> \

b

= min

z

A

> v

b

t

z

= min

z

A

>

=

b

t

z

= min

z

A

b

z

=

b

+

.

Theorem

167

.

(

a

u

b

)

+

=

a

+

t

b

+

for every elements

a

,

b

of a co-Heyting

algebra.

Proof.

a

t

(

a

u

b

)

+

w

(

a

u

b

)

t

(

a

u

b

)

+

w >

. So

a

t

(

a

u

b

)

+

w >

; (

a

u

b

)

+

w

> \

a

=

a

+

.

We have (

a

u

b

)

+

w

a

+

. Similarly (

a

u

b

)

+

w

b

+

. Thus (

a

u

b

)

+

w

a

+

t

b

+

.

On the other hand,

a

+

t

b

+

t

(

a

u

b

) = (

a

+

t

b

+

t

a

)

u

(

a

+

t

b

+

t

b

) . Obviously

a

+

t

b

+

t

a

=

a

+

t

b

+

t

b

=

>

. So

a

+

t

b

+

t

(

a

u

b

)

w >

and thus

a

+

t

b

+

w

> \

(

a

u

b

) = (

a

u

b

)

+

.

So (

a

u

b

)

+

=

a

+

t

b

+

.

2.2. Intro to category theory

This is a

very

basic introduction to category theory.

Definition

168

.

A

directed multigraph

(also known as

quiver

) is:

1

. a set

O

(

vertices

);

2

. a set

M

(

edge

s);

3

. functions Src and Dst (

source

and

destination

) from

M

to

O

.

Note that in category theory vertices are called

objects

and edges are called

morphisms

.

Definition

169

.

A

precategory

is a directed multigraph together with a partial

binary operation

on the set

M

such that

g

f

is defined iff Dst

f

= Src

g

(for

every morphisms

f

and

g

) such that

1

. Src(

g

f

) = Src

f

and Dst(

g

f

) = Dst

g

whenever the composition

g

f

of morphisms

f

and

g

is defined.

2

. (

h

g

)

f

=

h

(

g

f

) whenever compositions in this equation are defined.

Definition

170

.

The set Hom(

A, B

) (also denoted as Hom

C

(

A, B

) or just

C

(

A, B

), where

C

is our category) (morphisms from an object

A

to an object

B

)

is exactly morphisms which have

A

as the source and

B

as the destination.

Definition

171

.

Identity morphism

is such a morphism

e

that

e

f

=

f

and

g

e

=

g

whenever compositions in these formulas are defined.

Definition

172

.

A

category

is a precategory with additional requirement that

for every object

X

there exists identity morphism 1

X

.

Proposition

173

.

For every object

X

there exist no more than one identity

morphism.

Proof.

Let

p

and

q

be both identity morphisms for a object

X

. Then

p

=

p

q

=

q

.

Definition

174

.

An

isomorphism

is such a morphism

f

of a category that there

exists a morphism

f

1

(

inverse

of

f

) such that

f

f

1

= 1

Dst

f

and

f

1

f

= 1

Src

f

.

Proposition

175

.

An isomorphism has exactly one inverse.