background image

19.16. BOOLEAN FUNCOIDS

309

Proposition

1598

.

Let (

A

,

Z

) be a co-separable filtrator with finitely join-

closed core. An

A

Z

is connected regarding a funcoid

µ

iff

X, Y

Z

\ {⊥

Z

}

: (

X

t

Z

Y

=

A

X

[

µ

]

Y

)

.

Proof.

. Obvious.

. Follows from co-separability.

Obvious

1599

.

For

A

being a set of filters over a boolean lattice, an element

a

A

is connected regarding a pointfree funcoid

µ

iff it is connected regarding the

funcoid

µ

u

(

a

×

FCD

a

).

Exercise

1600

.

Consider above without requirement of existence of least ele-

ment.

19.16. Boolean funcoids

I call

boolean funcoids

pointfree funcoids between boolean lattices.

Proposition

1601

.

Every pointfree funcoid, whose source is a complete and

completely starrish and whose destination is complete and completely starrish and

separable, is complete.

Proof.

It’s enough to prove

h

f

i

d

S

=

d

hh

f

ii

S

for our pointfree funcoid

f

for every

S

P

Src

f

.

Really,

Y

6 h

f

i

d

S

d

S

6

f

1

Y

⇔ ∃

X

S

:

X

6

f

1

Y

⇔ ∃

X

S

:

Y

6 h

f

i

X

Y

6

d

hh

f

ii

S

for every

Y

Dst

f

and thus we have

h

f

i

d

S

=

d

hh

f

ii

S

because Dst

f

is separable.

Remark

1602

.

It seems that this theorem can be generalized for non-complete

lattices.

Corollary

1603

.

Every boolean funcoid is complete and co-complete.

Proof.

Using proposition

223

and corollary

89

.

Theorem

1604

.

Let

A

,

B

be complete boolean lattices.

A function

α

B

A

is equal to the component

h

f

i

of a pointree funcoid

f

pFCD

(

A

,

B

) iff

α

is preserving all joins (= lower adjoint).

Proof.

Let

α

B

A

and preserves all joins. Then

α

F

(

B

)

A

(We equate

principal filters of the set

F

A

of filters on

A

with elements of

A

). Thus (theo-

rem

1510

)

α

=

h

g

i

for some

g

pFCD

(

F

A

,

F

B

).

h

g

1

i ∈

F

(

A

)

F

(

B

)

.

Let

y

B

. We need to prove

h

g

1

i

y

A

that is

d

S

6 h

g

1

i

y

⇔ ∃

x

S

:

h

g

1

i

y

6

x

for every

S

P

A

.

Really,

d

S

6 h

g

1

i

y

y

6 h

g

i

d

S

y

6

d

hh

g

ii

S

⇔ ∃

x

S

:

y

6 h

g

i

x

x

S

:

h

g

1

i

y

6

x

.

Take

β

=

h

g

1

i

. We have

β

A

B

.

x

6

βy

x

6 h

g

1

i

y

y

6 h

g

i

x

y

6

αx

.

So (

A

,

B

, α, β

) is a pointfree funcoid.

The other direction: Let now

f

pFCD

(

A

,

B

). We need to prove that it

preserves all joins. But it was proved above.

Conjecture

1605

.

Let

A

,

B

be boolean lattices.

A function

α

B

A

is equal to the component

h

f

i

of a pointfree funcoid

f

pFCD

(

A

,

B

) iff

α

is a lower adjoint.