background image

2.1. ORDER THEORY

28

Remark

147

.

I do not require that

a

is undefined if there are no pseudocom-

plement of

a

and likewise for dual pseudocomplement and pseudodifference. In fact

below I will define quasicomplement, dual quasicomplement, and quasidifference

which generalize pseudo-* counterparts. I will denote

a

the more general case of

quasicomplement than of pseudocomplement, and likewise for other notation.

Obvious

148

.

Dual pseudocomplement is the dual of pseudocomplement.

Theorem

149

.

Let

A

be a distributive lattice with least element. Let

a, b

A

.

If

a

\

b

exists, then

a

\

b

also exists and

a

\

b

=

a

\

b

.

Proof.

Because

A

be a distributive lattice with least element, the definition

of

a

\

b

is correct.

Let

x

=

a

\

b

and let

S

=

n

y

A

a

v

b

t

y

o

.

We need to show

1

.

x

S

;

2

.

y

S

x

v

y

(for every

y

A

).

Really,

1

Because

b

t

x

=

a

t

b

.

2

.

y

S

a

v

b

t

y

(by definition of

S

)

a

t

b

v

b

t

y

x

t

b

v

b

t

y

(since

x

t

b

=

a

t

b

)

x

u

(

x

t

b

)

v

x

u

(

b

t

y

)

(

x

u

x

)

t

(

x

u

b

)

v

(

x

u

b

)

t

(

x

u

y

)

(by distributive law)

x

t ⊥ v ⊥ t

(

x

u

y

)

(since

x

u

b

=

)

x

v

x

u

y

x

v

y.

Definition

150

.

Co-brouwerian lattice

is a lattice for which pseudodifference

of any two its elements is defined.

Proposition

151

.

Every non-empty co-brouwerian lattice

A

has least element.

Proof.

Let

a

be an arbitrary lattice element. Then

a

\

a

= min

z

A

a

v

a

t

z

= min

A

.

So min

A

exists.

Definition

152

.

Co-Heyting lattice

is co-brouwerian lattice with greatest ele-

ment.

Definition

153

.

A

co-frame

is the same as a complete co-brouwerian lattice.

Theorem

154

.

For a co-brouwerian lattice

a

t −

is an upper adjoint of

− \

a

for every

a

A

.

Proof.

g

(

b

) = min

n

x

A

a

t

x

w

b

o

=

b

\

a

exists for every

b

A

and thus is the

lower adjoint of

a

t −

.

Corollary

155

.

a, x, y

A

: (

x

\

a

v

y

x

v

a

t

y

) for a co-brouwerian

lattice.