background image

CHAPTER 18

Convergence of funcoids

18.1. Convergence

The following generalizes the well-known notion of a filter convergent to a point

or to a set:

Definition

1453

.

A filter

F ∈

F

(Dst

µ

)

converges

to a filter

A ∈

F

(Src

µ

)

regarding a funcoid

µ

(

F

µ

→ A

) iff

F v h

µ

iA

.

Definition

1454

.

A funcoid

f

converges

to a filter

A ∈

F

(Src

µ

) regarding

a funcoid

µ

where Dst

f

= Dst

µ

(denoted

f

µ

→ A

) iff im

f

v h

µ

iA

that is iff

im

f

µ

→ A

.

Definition

1455

.

A funcoid

f

converges

to a filter

A ∈

F

(Src

µ

) on a filter

B ∈

F

(Src

f

) regarding a funcoid

µ

where Dst

f

= Dst

µ

iff

f

|

B

µ

→ A

.

Obvious

1456

.

A funcoid

f

converges to a filter

A ∈

F

(Src

µ

) on a filter

B ∈

F

(Src

f

) regarding a funcoid

µ

iff

h

f

iB v h

µ

iA

.

Remark

1457

.

We can define also convergence for a reloid

f

:

f

µ

→ A ⇔

im

f

v

h

µ

iA

or what is the same

f

µ

→ A ⇔

(

FCD

)

f

µ

→ A

.

Theorem

1458

.

Let

f

,

g

be funcoids,

µ

,

ν

be endofuncoids, Dst

f

= Src

g

=

Ob

µ

, Dst

g

= Ob

ν

,

A ∈

F

(Ob

µ

). If

f

µ

→ A

,

g

|

h

µ

iA

C(

µ

u

(

h

µ

iA ×

FCD

h

µ

iA

)

, ν

)

,

and

h

µ

iA w A

, then

g

f

ν

→ h

g

iA

.

Proof.

im

f

v h

µ

iA

;

h

g

i

im

f

v h

g

ih

µ

iA

;

im(

g

f

)

v

g

|

h

µ

iA

h

µ

iA

;

im(

g

f

)

v

g

|

h

µ

iA

µ

u

(

h

µ

iA ×

FCD

h

µ

iA

)

A

;

im(

g

f

)

v

g

|

h

µ

iA

(

µ

u

(

h

µ

iA ×

FCD

h

µ

iA

))

A

;

im(

g

f

)

v

ν

g

|

h

µ

iA

A

;

im(

g

f

)

v h

ν

g

iA

;

g

f

ν

→ h

g

iA

.

Corollary

1459

.

Let

f

,

g

be funcoids,

µ

,

ν

be endofuncoids, Dst

f

= Src

g

=

Ob

µ

, Dst

g

= Ob

ν

,

A ∈

F

(Ob

µ

). If

f

µ

→ A

,

g

C(

µ, ν

), and

h

µ

iA w A

then

g

f

ν

→ h

g

iA

.

Proof.

From the last theorem and theorem

1187

.

276