background image

17. GENERALIZED COFINITE FILTERS

274

Theorem

1443

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete atomic boolean lattice.

3

. All of the following:

(a)

A

is atomistic complete starrish lattice.

(b)

Z

is a complete atomistic lattice.

(c) (

A

,

Z

) is a filtered down-aligned filtrator with binarily meet-closed

core.

4

. Cor

0

is the lower adjoint of Ω

1

c

t

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Obvious.

3

4

It with join-closed core by theorem

531

.

We will prove Cor

0

X v Y ⇔ X v

1

c

t Y

.

By atomisticity it is equivalent to: atoms

A

Cor

0

X ⊆

atoms

A

Y ⇔

atoms

A

X ⊆

atoms

A

(Ω

1

c

t Y

); (theorem

600

atoms

A

Cor

0

X ⊆

atoms

A

Y ⇔

atoms

A

X ⊆

atoms

A

1

c

atoms

A

Y

; what by below is equivalent to: atoms

Z

X ⊆

atoms

Z

Y ⇔

atoms

A

X ⊆

atoms

A

1

c

atoms

A

Y

.

Cor

0

X v Y ⇔

atoms

A

Cor

0

X ⊆

atoms

A

Y ⇒

atoms

Z

Cor

0

X ⊆

atoms

Z

Y ⇔

atoms

Z

X ⊆

atoms

Z

Y

;

atoms

Z

X

atoms

Z

Y

(theorem

596

)

Cor

0

X

v

Cor

0

Y

(theorem

540

)

Cor

0

X v Y

.

Finishing the proof atoms

A

X ⊆

atoms

A

1

c

atoms

A

Y ⇔

atoms

A

X ⊆

(atoms

A

\

Z

)

atoms

A

Y ⇔

atoms

Z

X ⊆

atoms

A

Y ⇔

atoms

Z

X ⊆

atoms

Z

Y

.

Next there is an alternative proof of the above theorem. This alternative proof

requires additional condition

α

atoms

Z

X

coatoms

Z

:

a

6v

X

however.

Proof.

Define Ω = Ω

1

a

= Ω

1

c

.

It with join-closed core by theorem

531

.

It’s enough to prove that

X v

t

A

Cor

0

X

and Cor

0

(Ω

t

A

Y

)

v Y

.

Cor

0

(Ω

t

A

Y

) = (theorem

600

= Cor

0

t

Z

Cor

0

Y

= (proposition

1436

=

Z

t

Z

Cor

0

Y v

(theorem

540

)

v Y

.

t

A

Cor

0

X

=

d

atoms(Ω

t

A

Cor

0

X

) =

d

(atoms Ω

Cor

0

X

) =

d

atoms Ω

t

d

atoms

X

)

w

d

(atoms

X \

Z

)

t

d

(atoms

X ∩

Z

) =

d

((atoms

X \

Z

)

(atoms

X ∩

Z

) =

d

atoms

X

=

X

.

Corollary

1444

.

Under conditions of the last theorem Cor

0

d

A

S

=

d

A

Cor

0

S

.

Proposition

1445

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete atomic boolean lattice.

3

. All of the following:

(a)

A

is atomistic complete co-brouwerian lattice.

(b)

Z

is a complete atomistic lattice.

(c) (

A

,

Z

) is a filtered down-aligned filtrator with binarily meet-closed

core.

4

. Cor

0

X

=

X \

1

c

Proof.