background image

17. GENERALIZED COFINITE FILTERS

273

3

4

Suppose

α

atoms

Z

Cor Ω. Then

X

up Ω :

α

6v

X

. Therefore

α /

atoms

Z

Cor Ω. So atoms

Z

Cor Ω

1

a

=

and thus by atomicity Cor Ω

1

a

=

Z

.

Corollary

1440

.

Cor Ω

FCD

=

.

Proposition

1441

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over an atomic meet-semilattice with greatest

element such that

α

atoms

Z

X

coatoms

Z

:

a

6v

X

.

3

.

A

is a complete lattice,

α

atoms

Z

X

coatoms

Z

:

a

6v

X

and (

A

;

Z

)

is a filtered filtrator over an atomic poset.

4

. Ω

1

a

= max

X ∈

A

Cor

X

=

Z

 

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Obvious.

3

4

Due the last proposition, it is enough to show that Cor

X

=

Z

⇒ X v

1

a

for every

X ∈

A

.

Let Cor

X

=

Z

for some

X ∈

A

. Because of our filtrator being

filtered, it’s enough to show

X

up

X

for every

X

up Ω

1

a

.

X

=

a

0

u

. . .

u

a

n

for

a

i

being coatoms of

Z

.

a

i

w X

because otherwise

a

i

6w

Cor

X

.

So

X

up

X

.

Proposition

1442

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice.

3

. up Ω

1

a

=

n

d

S

S

P

fin

coatoms

Z

o

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Because

n

d

S

S

P

fin

coatoms

Z

o

is a filter.

Corollary

1443

.

up Ω

FCD

= up Ω

RLD

.

Definition

1444

.

1

c

=

d

(atoms

A

\

Z

).

Proposition

1445

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

;

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

;

Z

) is a down-aligned filtered complete lattice filtrator over an atomistic

poset and

α

atoms

Z

X

coatoms

Z

:

a

6v

X

.

3

. Ω

1

c

= Ω

1

a

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

For

x

atoms

A

\

Z

we have Cor

x

=

because otherwise

⊥ 6

= Cor

x

@

x

.

Thus by previous

x

v

1

a

and so Ω

1

c

=

d

(atoms

A

\

Z

)

v

1

a

.

If

x

atoms Ω

1

a

then

x /

Z

because otherwise Cor

x

6

=

. So

1

a

=

l

atoms Ω

1

a

=

l

(atoms Ω

1

a

\

Z

)

v

l

(atoms

A

\

Z

) = Ω

1

c

.