 CHAPTER 17

Generalized cofinite filters

The following is a straightforward generalization of cofinite filter.

Definition

1431

.

1

a

=

d

A

X

coatoms

Z

X

; Ω

1

b

=

d

A

X

coatoms

A

X

.

Proposition

1432

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. Ω

1

a

= Ω

1

b

for this filtrator.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Proposition

557

.

Proposition

1433

.

Let (

A

,

Z

) be a primary filtrator. Let

Z

be a subset of

P

U

.

Let it be a meet-semilattice with greatest element. Let also every non-coempty

cofinite set lies in

Z

. Then

Ω =

Y

Z

card atoms

Z

Y

ω

.

(18)

Proof.

Ω exists by corollary

515

.

Y

Y

6

A

d

A

X

coatoms

Z

X

(by properties of filter bases)

⇔ ∀

S

P

fin

coatoms

Z

:

Y

6

A

d

A

S

(corollary

533

)

⇔ ∀

S

P

fin

coatoms

Z

:

Y

6

d

S

⇔ ∀

K

P

fin

U

:

Y

\

K

6

=

∅ ⇔

card

Y

ω

card atoms

Z

Y

ω

. (Here

P

fin

denotes the set of finite subsets.)

Corollary

1434

.

Formula (

18

holds for both reloids and funcoids.

Proof.

For reloiods it’s straightforward, for funcoids take that they are iso-

morphic to filters on lattice Γ.

Corollary

1435

.

FCD

6

=

FCD

(for

FCD

(

A, B

) where

A

×

B

is an infinite

set).

Proposition

1436

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over an atomic ideal base and

α

atoms

Z

X

coatoms

Z

:

a

6v

X

.

3

. Ω

1

a

and Cor Ω

1

a

are defined,

α

atoms

Z

X

coatoms

Z

:

a

6v

X

and

Z

is an atomic poset.

4

. Cor Ω

1

a

=

Z

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Obvious.

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