background image

16.9. SOME (EXAMPLE) VALUES

271

Proof.

It’s enough to prove (

X

0

×

X

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

X

n

)

up(

x

×

x

) for

every ultrafilter

x

, what follows from the fact that

x

v

X

i

for some

i

and thus

x

×

x

v

X

i

×

X

i

.

Proposition

1425

.

For finite tuples

X

,

Y

of typed sets

(

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

)

w

1

(

X

0

u

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

u

Y

n

) =

>

.

Proof.

(

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

)

w

1

((

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

))

u

1 =

1

((

X

0

×

Y

0

)

u

1)

t

. . .

t

((

X

n

×

Y

n

)

u

1) = 1

id

X

0

u

Y

0

t

. . .

t

id

X

n

u

Y

n

= 1

id

(

X

0

u

Y

0

)

t

...

t

(

X

n

u

Y

n

)

= 1

(

X

0

u

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

u

Y

n

) =

>

.

Corollary

1426

.

up

Γ

1 =

(

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

)

n

N

,

i

n

:

X

i

, Y

i

T

U,

(

X

0

u

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

u

Y

n

) =

>

.

Corollary

1427

.

The predicate (

X

0

u

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

u

Y

n

) =

>

for an

element (

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

) of Γ does not depend on its representation

(

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

).

Proposition

1428

.

up

Γ

1 =

[

up

Γ

((

X

0

×

X

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

X

n

))

n

N

,

i

n

:

X

i

T

U, X

0

t

. . .

t

X

n

=

>

.

Proof.

If (

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

)

up

Γ

1 then we have

(

X

0

×

Y

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

Y

n

)

w

((

X

0

u

Y

0

)

×

(

X

0

u

Y

0

))

t

. . .

t

((

X

n

u

Y

n

)

×

(

X

n

u

Y

n

))

up

Γ

1

.

Thus

up

Γ

1

[

up

Γ

((

X

0

×

X

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

X

n

))

n

N

,

i

n

:

X

i

T

U, X

0

t

. . .

t

X

n

=

>

.

The reverse inclusion is obvious.

Proposition

1429

.

(

RLD

)

in

1

FCD

=

RLD

l

(

X

0

×

X

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

X

n

)

n

N

,

i

n

:

X

i

T

U, X

0

t

. . .

t

X

n

=

>

.

Proof.

By the diagram we have (

RLD

)

in

1

FCD

=

d

RLD

up

Γ

1. So it follows from

the previous proposition.

Proposition

1430

.

up

Γ

(

RLD

)

in

1

FCD

= up

Γ

1.

Proof.

If

K

up

Γ

1 then

K

up

Γ

((

X

0

×

X

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

X

n

)) and thus

K

up

Γ

(

RLD

)

in

1

FCD

(see proposition

1424

). Thus up

Γ

1

up

Γ

(

RLD

)

in

1

FCD

. But

up

Γ

(

RLD

)

in

1

FCD

up

Γ

1 is obvious.