background image

16.9. SOME (EXAMPLE) VALUES

270

Proposition

1420

.

For a set

S

of binary relations

X

0

, . . . , X

n

S

: up(

X

0

u

FCD

· · · u

FCD

X

n

)

S

does not imply that

S

is a funcoid base.

Proof.

Suppose for the contrary that it does imply. Then, because

S

is an

upper set (as follows from the condition, taking

n

= 0), it implies that

S

= up

f

for a funcoid

f

, what contradicts to the above example.

Conjecture

1421

.

Let

X, Y

S

: up(

X

u

FCD

Y

)

S

.

Then

X

0

, . . . , X

n

S

: up(

X

0

u

FCD

· · · u

FCD

X

n

)

S.

Exercise

1422

.

up(

f

0

u

FCD

. . .

u

FCD

f

n

)

n

F

0

u

...

u

F

n

F

0

up

f

0

...

F

n

up

f

n

o

for every

funcoids

f

0

, . . . ,

f

n

(

n

N

).

16.9. Some (example) values

I will do some calculations of particular funcoids and reloids.

First note that

u

FCD

can be decomposed (see below for a short easy proof):

f

u

FCD

g

= (

FCD

)(((

RLD

)

in

f

u

(

RLD

)

in

g

)

.

The above is a more understandable decomposition of the operation

u

FCD

which

behaves in strange way, mapping meet of two binary relations into a funcoid which

is not a binary relation (1

FCD

u

FCD

(

> \

1

FCD

) = 1

FCD

).

The last formula is easy to prove (and proved above in the book) but the result

is counter-intuitive.

More generally:

FCD

l

S

= (

FCD

)

RLD

l

h

(

RLD

)

in

i

S.

The above formulas follow from the fact that (

FCD

) is an upper adjoint and

that (

FCD

)(

RLD

)

in

f

=

f

for every funcoid

f

.

Let

FCD

denote funcoids on a set

U

.

Consider a special case of the above formulas:

1

FCD

u

FCD

(

> \

1

FCD

) = (

FCD

)((

RLD

)

in

1

FCD

u

(

RLD

)

in

(

> \

1

FCD

))

.

(17)

We want to calculate terms of the formula (

17

and more generally do some

(probably useless) calculations for particular funcoids and reloids related to the

above formula.

The left side is already calculated. The term (

RLD

)

in

1

FCD

which I call “thick

equality” above is well understood. Let’s compute (

RLD

)

in

(

> \

1

FCD

).

Proposition

1423

.

(

RLD

)

in

(

> \

1

FCD

) =

> \

1

FCD

.

Proof.

Consider funcoids on a set

U

. For any filters

x

and

y

(or without loss

of generality ultrafilters

x

and

y

) we have:

x

×

FCD

y

v > \

1

FCD

(theorem 574 and the fact that funcoids are filters)

x

×

FCD

y

1

FCD

⇔ ¬

x

[1

FCD

]

y

x

y

⇒ ∃

X

up

x, Y

up

y

:

X

Y

.

Thus (

RLD

)

in

(

> \

1

FCD

) =

d

n

X

×

Y

X,Y

T

U,X

Y

o

=

> \

1

FCD

.

So, we have:

1

FCD

= 1

FCD

u

FCD

(

> \

1

FCD

) = (

RLD

)

in

1

FCD

u

FCD

(

> \

1

FCD

)

.

Proposition

1424

.

If

X

0

t

. . .

t

X

n

=

>

then (

X

0

×

X

0

)

t

. . .

t

(

X

n

×

X

n

)

up(

RLD

)

in

1

FCD

.