 2.1. ORDER THEORY

27

Proof.

It is enough to prove

f

v

g

f

w

g

(the rest follows from the fact

that a Galois connection is determined by one adjoint).

Really, let

f

v

g

. Then

f

0

v

f

1

and thus:

f

0

(

b

) = max

n

x

A

f

0

x

v

b

o

,

f

1

(

b

) = max

n

x

A

f

1

x

v

b

o

.

Thus

f

0

(

b

)

w

f

1

(

b

) for every

b

B

and so

f

0

w

f

1

.

Definition

137

.

Composition of Galois connections is defined by the formula:

g

f

= (

g

f

, f

g

).

Proposition

138

.

Composition of Galois connections is a Galois connection.

Proof.

g

f

and

f

g

are monotone as composition of monotone functions;

(

g

f

)

x

v

z

g

f

x

v

z

f

x

v

g

z

x

v

f

g

z

x

v

(

f

g

)

z.

Obvious

139

.

Composition of Galois connections preserves order.

2.1.13.2.

Antitone Galois connections.

Definition

140

.

An

antitone Galois connection

between posets

A

and

B

is a

Galois connection between

A

and dual

B

.

Obvious

141

.

An antitone Galois connection is a pair of antitone functions

f

:

A

B

,

g

:

B

A

such that

b

v

f a

a

v

gb

for every

a

A

,

b

B

.

Such

f

and

g

are called

polarities

(between

A

and

B

).

Obvious

142

.

f

d

S

=

d

h

f

i

S

if

f

is a polarity between

A

and

B

and

S

P

A

.

Galois connections (particularly between boolean lattices) are studied in [

32

]

and [

33

].

2.1.14. Co-Brouwerian lattices.

Definition

143

.

Let

A

be a poset.

Pseudocomplement

of

a

A

is

max

c

A

c

a

.

If

z

is the pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

.

Definition

144

.

Let

A

be a poset.

Dual pseudocomplement

of

a

A

is

min

c

A

c

a

.

If

z

is the dual pseudocomplement of

a

we will denote

z

=

a

+

.

Proposition

145

.

If

a

is a complemented element of a bounded distributive

lattice, then ¯

a

is both pseudocomplement and dual pseudocomplement of

a

.

Proof.

Because of duality it is enough to prove that ¯

a

is pseudocomplement

of

a

.

We need to prove

c

a

c

v

¯

a

for every element c of our poset, and ¯

a

a

.

The second is obvious. Let’s prove

c

a

c

v

¯

a

.

Really, let

c

a

. Then

c

u

a

=

; ¯

a

t

(

c

u

a

) = ¯

a

; (¯

a

t

c

)

u

a

t

a

) = ¯

a

; ¯

a

t

c

= ¯

a

;

c

v

¯

a

.

Definition

146

.

Let

A

be a join-semilattice. Let

a, b

A

.

Pseudodifference

of

a

and

b

is

min

z

A

a

v

b

t

z

.

If

z

is a pseudodifference of

a

and

b

we will denote

z

=

a

\

b

.