background image

16.8. FUNCOID BASES

268

Now it’s obvious that

f

g

=

f

u

FCD

g

.

Theorem

1413

.

The set of funcoids (from a given set

A

to a given set

B

) is

with separable core.

Proof.

Let

f, g

FCD

(

A, B

) (for some sets

A

,

B

).

Because filters on distributive lattices are with separable core, there exist

F, G

Γ(

A, B

) such that

F

G

=

. Then by the previous theorem

F

u

FCD

G

=

.

Theorem

1414

.

The coatoms of funcoids from a set

A

to a set

B

are exactly

(

A

×

B

)

\

(

{

x

} × {

y

}

) for

x

A

,

y

B

.

Proof.

That coatoms of Γ(

A, B

) are exactly (

A

×

B

)

\

(

{

x

} × {

y

}

) for

x

A

,

y

B

, is obvious. To show that coatoms of funcoids are the same, it remains to

apply proposition

560

.

Theorem

1415

.

The set of funcoids (for given

A

and

B

) is coatomic.

Proof.

Proposition

562

.

Exercise

1416

.

Prove that in general funcoids are not coatomistic.

16.8. Funcoid bases

This section will present mainly a counter-example against a statement you

have not thought about anyway.

Lemma

1417

.

If

S

is an upper set of principal funcoids, then

d

FCD

(

S

Γ) =

d

FCD

S

.

Proof.

d

FCD

(

S

Γ)

w

d

FCD

S

is obvious.

d

FCD

S

=

d

FCD

d

FCD

K

S

T

K

w

d

FCD

(

S

Γ). where

T

K

P

(

S

Γ). So

d

FCD

(

S

Γ) =

d

FCD

S

.

Theorem

1418

.

If

S

is a filter base on the set of binary relations then

S

is a

base of

d

FCD

S

.

First prove a special case of our theorem to get the idea:

Example

1419

.

Take the filter base

S

=

 

(

x,y

)

|

x

y

|

 

ε>

0

and

K

=

n

(

x,y

)

|

x

y

|

<

exp

x

o

where

x

and

y

range real numbers. Then

K /

up

d

FCD

S

.

Proof.

Take a nontrivial ultrafilter

x

on

R

. We can for simplicity assume

x

v

Z

.

*

FCD

l

S

+

x

=

F

l

L

S

h

L

i

x

=

F

l

L

S,X

up

x

h

L

i

X

=

F

l

ε>

0

,X

up

x

l

α

X

]

α

ε

;

α

+

ε

[

.

h

K

i

x

=

d

F

X

up

x

h

K

i

X

=

d

F

X

up

x

d

α

X

]

α

exp

α

;

α

+ exp

α

[.

Suppose for the contrary that

h

K

i

x

w

D

d

FCD

S

E

x

.

Then

d

α

X

]

α

exp

α

;

α

+exp

α

[

w

d

F

ε>

0

,X

up

x

d

α

X

]

α

ε

;

α

+

ε

[ for every

X

up

x

;

thus by properties of generalized filter bases (

n

d

α

X

]

α

ε

;

α

+

ε

[

ε>

0

o

is a filter base

and even a chain)