 16.4. ASSOCIATIVITY OVER COMPOSITION

263

2

.

RLD

l

up

g

!

RLD

l

up

f

!

=

RLD

l

(

G

F

F

d

RLD

f, G

d

RLD

g

)

=

RLD

l

G

F

F

f, G

g

=

RLD

l

F

Γ(Src

f,

Dst

g

)

l

G

F

F

f, G

g

=

RLD

l

(

g

f

)

.

So

d

RLD

preserves composition. That

A 7→

Γ(

A, B

)

up

A

preserves composition

follows from properties of bijections.

Lemma

1391

.

Let

A

,

B

,

C

be sets.

1

.

d

FCD

up

g

d

FCD

up

f

=

d

FCD

up(

g

f

) for every

f

F

Γ(

A, B

),

g

F

Γ(

B, C

);

2

. (up

Γ(

B,C

)

g

)

(up

Γ(

A,B

)

f

) = up

Γ(

A,B

)

(

g

f

) for every funcoids

f

FCD

(

A, B

) and

g

FCD

(

B

:

C

).

Proof.

It’s enough to prove only the first formula, because of the bijection

from lemma

1384

.

Really:

FCD

l

up(

g

f

) =

FCD

l

up

RLD

l

up(

g

f

) =

FCD

l

up

RLD

l

up

g

RLD

l

up

f

!

= (

FCD

)

RLD

l

up

g

RLD

l

up

f

!

=

(

FCD

)

RLD

l

up

g

!

(

FCD

)

RLD

l

up

f

!

=

FCD

l

up

RLD

l

up

g

!

FCD

l

up

RLD

l

up

f

!

=

FCD

l

up

g

!

FCD

l

up

f

!

.

Corollary

1392

.

(

h

g

)

f

=

h

(

g

f

) for every

f

F

(Γ(

A, B

)),

g

F

Γ(

B, C

),

h

F

Γ(

C, D

) for every sets

A

,

B

,

C

,

D

.

Lemma

1393

.

Γ(

A, B

)

GR

f

is a filter on the lattice Γ(

A, B

) for every reloid

f

RLD

(

A, B

).

Proof.

That it is an upper set, is obvious. If

A, B

Γ(

A, B

)

GR

f

then

A, B

Γ(

A, B

) and

A, B

GR

f

. Thus

A

B

Γ(

A, B

)

GR

f

.

Proposition

1394

.

If

Y

up

h

f

iX

for a funcoid

f

then there exists

A

up

X

such that

Y

up

h

f

i

A

.

Proof.

Y

up

d

F

A

up

a

h

f

i

A

. So by properties of generalized filter bases, there

exists

A

up

a

such that

Y

up

h

f

i

A

.

Lemma

1395

.

(

FCD

)

f

=

d

FCD

(Γ(

A, B

)

GR

f

) for every reloid

f

RLD

(

A, B

).