16.4. ASSOCIATIVITY OVER COMPOSITION

262

16.4. Associativity over composition

Lemma

1390

.

d

RLD

up

Γ(

A,C

)

(

g

f

) =

d

RLD

up

Γ(

B,C

)

g

d

RLD

up

Γ(

B,C

)

for every

f

F

(Γ(

A, B

)),

g

F

(Γ(

B, C

)) (for every sets

A

,

B

,

C

).

Proof.

If

K

up

d

RLD

up

Γ(

A,C

)

(

g

f

) then

K

G

F

for some

F

f

,

G

g

.

But

F

up

Γ(

A,B

)

f

, thus

F

RLD

l

up

Γ(

A,B

)

f

and similarly

G

RLD

l

up

Γ(

B,C

)

g.

So we have

K

G

F

up

RLD

l

up

Γ(

B,C

)

g

!

RLD

l

up

Γ(

A,B

)

f

!!

.

Let now

K

up

RLD

l

up

Γ(

B,C

)

g

!

RLD

l

up

Γ(

A,B

)

f

!!

.

Then there exist

F

up

d

RLD

up

Γ(

A,B

)

f

and

G

up

d

RLD

up

Γ(

B,C

)

g

such that

K

G

F

. By properties of generalized filter bases we can take

F

up

Γ(

A,B

)

f

and

G

up

Γ(

B,C

)

g

. Thus

K

up

Γ(

A,C

)

(

g

f

) and so

K

up

d

RLD

up

Γ(

A,C

)

(

g

f

).

Lemma

1391

.

(

RLD

)

in

X

=

X

for

X

Γ(

A, B

).

Proof.

X

=

X

0

×

Y

0

. . .

X

n

×

Y

n

= (

X

0

×

FCD

Y

0

)

t

FCD

. . .

t

FCD

(

X

n

×

FCD

Y

n

).

(

RLD

)

in

X

=

(

RLD

)

in

(

X

0

×

FCD

Y

0

)

t

RLD

. . .

t

RLD

(

RLD

)

in

(

X

n

×

FCD

Y

) =

(

X

0

×

RLD

Y

0

)

t

RLD

. . .

t

RLD

(

X

n

×

RLD

Y

n

) =

X

0

×

Y

0

. . .

X

n

×

Y

n

=

X.

Lemma

1392

.

d

RLD

f

= (

RLD

)

in

d

FCD

f

for every filter

f

F

Γ(

A, B

).

Proof.

(

RLD

)

in

FCD

l

f

=

RLD

l

h

(

RLD

)

in

i

f

= (by the previous lemma) =

RLD

l

f.

Lemma

1393

.

1

.

f

7→

d

RLD

up

f

and

A 7→

Γ(

A, B

)

up

A

are mutually inverse bijections

between

F

Γ(

A, B

) and a subset of reloids.

2

. These bijections preserve composition.

Proof.

1

That they are mutually inverse bijections is obvious.