background image

14.1. ORDERING OF FILTERS

243

. Let

A

and

B

be isomorphic. Then there are sets

A

∈ A

,

B

∈ B

and a bijective

Set

-morphism

F

:

A

B

such that

h

F

i

:

P

A

∩ A →

P

B

∩ B

is a

bijection.

Obviously

f

= (

RLD

F

)

|

A

is monovalued and injective.

im

f

=

F

l

im

G

G

up(

RLD

F

)

|

A

=

F

l

im(

H

F

|

X

)

H

up(

RLD

F

)

|

A

, X

∈ A

=

F

l

im

F

|

P

P

∈ A

=

F

l

h

F

i

P

P

∈ A

=

F

l

h

F

i

P

P

P

A

∩ A

=

F

l

(

P

B

∩ B

) =

F

l

B

=

B

.

Thus dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

. Let

f

be a monovalued injective reloid such that dom

f

=

A

and im

f

=

B

.

Then there exist a function

F

0

and an injective binary relation

F

00

such

that

F

0

, F

00

f

. Thus

F

=

F

0

F

00

is an injection such that

F

f

. The

function

F

is a bijection from

A

= dom

F

to

B

= im

F

. The function

h

F

i

is an injection on

P

A

∩ A

(and moreover on

P

A

). It’s simple to

show that

X

P

A

∩ A

:

h

F

i

X

P

B

∩ B

and similarly

Y

P

B

∩ B

: (

h

F

i

)

1

Y

=

F

1

Y

P

A

∩ A

.

Thus

h

F

i

|

P

A

∩A

is a bijection

P

A

∩ A →

P

B

∩ B

. So filters

A

and

B

are isomorphic.

Proposition

1292

.

(

1

) = (

w

)

(

2

) (when we limit to small filters).

Proof.

A ≥

1

B

iff exists a function

f

: Base(

A

)

Base(

B

) such that

B v

FCD

f

A

. But

B v

FCD

f

A

is equivalent to

∃B

0

F

: (

B

0

w B ∧ B

0

=

FCD

f

A

). So

A ≥

1

B

is equivalent to existence of

B

0

F

such that

B

0

w B

and

existence of a function

f

: Base(

A

)

Base(

B

) such that

B

0

=

FCD

f

A

. This is

equivalent to

A

((

w

)

(

2

))

B

.

Proposition

1293

.

If

a

and

b

are ultrafilters then

b

1

a

b

2

a

.

Proof.

We need to prove only

b

1

a

b

2

a

. If

b

1

a

then there exists

a monovalued reloid

f

: Base(

b

)

Base(

a

) such that dom

f

=

b

and im

f

w

a

.

Then im

f

= im(

FCD

)

f

∈ {⊥

F

(Base(

a

))

} ∪

atoms

F

(Base(

a

))

because (

FCD

)

f

is a

monovalued funcoid. So im

f

=

a

(taken into account im

f

6

=

F

(Base(

a

))

) and thus

b

2

a

.

Corollary

1294

.

For atomic filters

1

is the same as

2

.

Thus I will write simply

for atomic filters.