background image

14.1. ORDERING OF FILTERS

239

Thus

g

f

is a morphism of

GreFunc

1

. Associativity law is evident. id

Base(

A

)

is

the identity morphism of

GreFunc

1

for every filter

A

.

Let

f

:

A → B

and

g

:

B → C

be morphisms of

GreFunc

2

. Then

B

=

FCD

f

A

and

C

=

FCD

g

B

. So

FCD

(

g

f

)

A

=

FCD

g

FCD

f

A

=

FCD

g

B

=

C

.

Thus

g

f

is a morphism of

GreFunc

2

. Associativity law is evident. id

Base(

A

)

is

the identity morphism of

GreFunc

2

for every filter

A

.

Corollary

1272

.

1

and

2

are preorders.

Theorem

1273

.

FuncBij

is a groupoid.

Proof.

First let’s prove it is a category. Let

f

:

A → B

and

g

:

B → C

be

morphisms of

FuncBij

. Then

f

: Base(

A

)

Base(

B

) and

g

: Base(

B

)

Base(

C

)

are bijections and

B

=

FCD

f

A

and

C

=

FCD

g

B

. Thus

g

f

: Base(

A

)

Base(

C

) is a bijection and

C

=

FCD

(

g

f

)

A

. Thus

g

f

is a morphism of

FuncBij

. id

Base(

A

)

is the identity morphism of

FuncBij

for every filter

A

. Thus

it is a category.

It remains to prove only that every morphism

f

Hom

FuncBij

(

A

,

B

) has a

reverse (for every filters

A

,

B

). We have

f

is a bijection Base(

A

)

Base(

B

) such

that for every

C

P

Base(

A

)

h

f

i

C

∈ B ⇔

C

∈ A

.

Then

f

1

: Base(

B

)

Base(

A

) is a bijection such that for every

C

P

Base(

B

)

f

1

C

∈ A ⇔

C

∈ B

.

Thus

f

1

Hom

FuncBij

(

B

,

A

).

Corollary

1274

.

Being directly isomorphic is an equivalence relation.

Rudin-Keisler order of ultrafilters is considered in such a book as [

40

].

Obvious

1275

.

For the case of ultrafilters being directly isomorphic is the same

as being Rudin-Keisler equivalent.

Definition

1276

.

A filter

A

is

isomorphic

to a filter

B

iff there exist sets

A

∈ A

and

B

∈ B

such that

A ÷

A

is directly isomorphic to

B ÷

B

.

Obvious

1277

.

Equivalent filters are isomorphic.

Theorem

1278

.

Being isomorphic (for small filters) is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity. Because every filter is directly isomorphic to itself.

Symmetry. If filter

A

is isomorphic to

B

then there exist sets

A

∈ A

and

B

∈ B

such that

A ÷

A

is directly isomorphic to

B ÷

B

and thus

B ÷

B

is directly

isomorphic to

A ÷

A

. So

B

is isomorphic to

A

.

Transitivity. Let

A

be isomorphic to

B

and

B

be isomorphic to

C

. Then exist

A

∈ A

,

B

1

∈ B

,

B

2

∈ B

,

C

∈ C

such that there are bijections

f

:

A

B

1

and

g

:

B

2

C

such that

X

P

A

: (

X

∈ B ⇔

f

1

X

∈ A

) and

X

P

B

1

: (

X

∈ A ⇔ h

f

i

X

∈ B

)

and also

X

P

B

2

: (

X

∈ B ⇔ h

g

i

X

∈ C

).

So

g

f

is a bijection from

f

1

(

B

1

B

2

)

∈ A

to

h

g

i

(

B

1

B

2

)

∈ C

such that

X

∈ A ⇔ h

f

i

X

∈ B ⇔ h

g

i

h

f

i

X

∈ C ⇔ h

g

f

i

X

∈ C

.

Thus

g

f

establishes a bijection which proves that

A

is isomorphic to

C

.