background image

CHAPTER 14

Orderings of filters in terms of reloids

Whilst the other chapters of this book use filters to research funcoids and

reloids, here the opposite thing is discussed, the theory of reloids is used to describe

properties of filters.

In this chapter the word

filter

is used to denote a filter on a set (not on an

arbitrary poset) only.

14.1. Ordering of filters

Below I will define some categories having filters (with possibly different bases)

as their objects and some relations having two filters (with possibly different bases)

as arguments induced by these categories (defined as existence of a morphism be-

tween these two filters).

Theorem

1255

.

card

a

= card

U

for every ultrafilter

a

on

U

if

U

is infinite.

Proof.

Let

f

(

X

) =

X

if

X

a

and

f

(

X

) =

U

\

X

if

X /

a

. Obviously

f

is a

surjection from

U

to

a

.

Every

X

a

appears as a value of

f

exactly twice, as

f

(

X

) and

f

(

U

\

X

). So

card

a

= (card

U

)

/

2 = card

U

.

Corollary

1256

.

Cardinality of every two ultrafilters on a set

U

is the same.

Proof.

For infinite

U

it follows from the theorem. For finite case it is obvious.

Proposition

1257

.

FCD

f

A

=

n

C

P

(Dst

f

)

h

f

1

i

C

∈A

o

for every

Set

-morphism

f

: Base(

A

)

Base(

B

). (Here a funcoid is considered as a pair of functions

F

(Base(

A

))

F

(Base(

B

)),

F

(Base(

B

))

F

(Base(

A

)) rather than as a pair of

functions

F

(Base(

A

))

F

(Base(

B

)),

F

(Base(

B

))

F

(Base(

A

)).)

Proof.

For every set

C

P

Base(

B

) we have

f

1

C

∈ A ⇒

K

∈ A

:

f

1

C

=

K

K

∈ A

:

h

f

i

f

1

C

=

h

f

i

K

K

∈ A

:

C

⊇ h

f

i

K

K

∈ A

:

C

FCD

f

K

C

FCD

f

A

.

So

C

n

C

P

(Dst

f

)

h

f

1

i

C

∈A

o

C

FCD

f

A

.

Let now

C

FCD

f

A

. Then

f

1

C

w

FCD

f

1

FCD

f

A w A

and

thus

f

1

C

∈ A

.

Below I’ll define some directed multigraphs. By an abuse of notation, I will

denote these multigraphs the same as (below defined) categories based on some

236