background image

12.7. MICRONIZATION

231

12.6. Irreflexive reloids

Definition

1226

.

Endoreloid

f

is irreflexive iff

f

1

Ob

f

.

Proposition

1227

.

Endoreloid

f

is irreflexive iff

f

v > \

1.

Proof.

By theorem

601

.

Obvious

1228

.

f

\

1 is an irreflexive endoreloid if

f

is an endoreloid.

Proposition

1229

.

S

(

f

) =

S

(

f

t

1) if

f

is an endoreloid, endofuncoid, or

endorelation.

Proof.

First prove (

f

t

1)

n

= 1

t

f

t

. . .

t

f

n

for

n

N

. For

n

= 0 it’s obvious.

By induction we have

(

f

t

1)

n

+1

=

(

f

t

1)

n

(

f

t

1) =

(1

t

f

t · · · t

f

n

)

(

f

t

1) =

(

f

t

f

2

t · · · t

f

n

+1

)

t

(1

t

f

t · · · t

f

n

) =

1

t

f

t · · · t

f

n

+1

.

So

S

(

f

t

1) = 1

t

(1

t

f

)

t

(1

t

f

t

f

2

)

t

. . .

= 1

t

f

t

f

2

t

. . .

=

S

(

f

).

Corollary

1230

.

S

(

f

) =

S

(

f

t

1) =

S

(

f

\

1) if

f

is an endoreloid (or just an

endorelation).

Proof.

S

(

f

\

1) =

S

((

f

\

1)

t

1)

w

S

(

f

). But

S

(

f

\

1)

v

S

(

f

) is obvious. So

S

(

f

\

1) =

S

(

f

).

12.7. Micronization

“Micronization” was a thoroughly wrong idea with several errors in the proofs.

This section is removed from the book.