background image

2.1. ORDER THEORY

23

Definition

104

.

Atomistic poset

is such a poset that

a

=

d

atoms

a

for every

element

a

of this poset.

Obvious

105

.

Every atomistic poset is atomic.

Proposition

106

.

Let

A

be a poset. If

a

is an atom of

A

and

B

A

then

a

atoms

B

a

v

B

a

6

B.

Proof.

a

atoms

B

a

v

B

. Obvious.

a

v

B

a

6

B

.

a

v

B

a

v

a

a

v

B

, thus

a

6

B

because

a

is not least.

a

v

B

a

6

B

.

a

6

B

implies existence of non-least element

x

such that

x

v

B

and

x

v

a

. Because

a

is an atom, we have

x

=

a

. So

a

v

B

.

Theorem

107

.

A poset is atomistic iff every its element can be represented as

join of atoms.

Proof.

. Obvious.

. Let

a

=

d

S

where

S

is a set of atoms. We will prove that

a

is the least upper

bound of atoms

a

.

That

a

is an upper bound of atoms

a

is obvious. Let

x

is an upper

bound of atoms

a

. Then

x

w

d

S

because

S

atoms

a

. Thus

x

w

a

.

Theorem

108

.

atoms

d

S

=

T

h

atoms

i

S

whenever

d

S

is defined for every

S

P

A

where

A

is a poset.

Proof.

For any atom

c

atoms

l

S

c

v

l

S

a

S

:

c

v

a

a

S

:

c

atoms

a

c

\

h

atoms

i

S.

Corollary

109

.

atoms(

a

u

b

) = atoms

a

atoms

b

for an arbitrary meet-

semilattice.

Theorem

110

.

A complete boolean lattice is atomic iff it is atomistic.

Proof.

. Obvious.

. Let

A

be an atomic boolean lattice. Let

a

A

. Suppose

b

=

d

atoms

a

@

a

. If

x

atoms(

a

\

b

) then

x

v

a

\

b

and so

x

v

a

and hence

x

v

b

. But we

have

x

=

x

u

b

v

(

a

\

b

)

u

b

=

what contradicts to our supposition.

2.1.11. Kuratowski’s lemma.

Theorem

111

.

(

Kuratowski

’s lemma) Any chain in a poset is contained in

a maximal chain (if we order chains by inclusion).

I will skip the proof of

Kuratowski

’s lemma as this proof can be found in

any set theory or order theory reference.