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12.5. ALGEBRAIC PROPERTIES OF

S

AND

S

229

Obvious

1213

.

A filter

A

is connected regarding a reloid

µ

iff it is connected

regarding the reloid

µ

u

(

A ×

RLD

A

).

Obvious

1214

.

A filter

A

is connected regarding a funcoid

µ

iff it is connected

regarding the funcoid

µ

u

(

A ×

FCD

A

).

Theorem

1215

.

A filter

A

is connected regarding a reloid

f

iff

A

is connected

regarding every

F

RLD

up

f

.

Proof.

. Obvious.

.

A

is connected regarding

RLD

F

iff

S

1

(

F

) =

F

1

t

F

2

t · · · ∈

up(

A ×

RLD

A

).

S

1

(

f

) =

d

RLD

F

up

f

S

1

(

F

)

w

d

F

up

f

(

A ×

RLD

A

) =

A ×

RLD

A

.

Conjecture

1216

.

A filter

A

is connected regarding a funcoid

f

iff

A

is

connected regarding every

F

FCD

up

f

.

The above conjecture is open even for the case when

A

is a principal filter.

Conjecture

1217

.

A filter

A

is connected regarding a reloid

f

iff it is con-

nected regarding the funcoid (

FCD

)

f

.

The above conjecture is true in the special case of principal filters:

Proposition

1218

.

A filter

A

(for a typed set

A

) is connected regarding an

endoreloid

f

on the suitable object iff it is connected regarding the endofuncoid

(

FCD

)

f

.

Proof.

A

is connected regarding a reloid

f

iff

A

is connected regarding every

F

up

f

that is when (taken into account that connectedness for

RLD

F

is the

same as connectedness of

FCD

F

)

F

up

f

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}

: (

X t Y

=

A

⇒ X

FCD

F

Y

)

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}∀

F

up

f

: (

X t Y

=

A

⇒ X

FCD

F

Y

)

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}

(

X t Y

=

A

⇒ ∀

F

up

f

:

X

FCD

F

Y

)

∀X

,

Y ∈

F

(Ob

f

)

\ {⊥

F

(Ob

f

)

}

(

X t Y

=

A

⇒ X

[(

FCD

)

f

]

Y

)

that is when the set

A

is connected regarding the funcoid (

FCD

)

f

.

Conjecture

1219

.

A set

A

is connected regarding an endofuncoid

µ

iff for

every

a, b

A

there exists a totally ordered set

P

A

such that min

P

=

a

,

max

P

=

b

and

q

P

\ {

b

}

:

x

P

x

q

[

µ

]

x

P

x > q

.

Weaker condition:

q

P

\ {

b

}

:

x

P

x

q

[

µ

]

x

P

x > q

∨ ∀

q

P

\ {

a

}

:

x

P

x < q

[

µ

]

x

P

x

q

.

12.5. Algebraic properties of

S

and

S

Theorem

1220

.

S

(

S

(

f

)) =

S

(

f

) for every endoreloid

f

.