background image

CHAPTER 12

Connectedness regarding funcoids and reloids

12.1. Some lemmas

Lemma

1185

.

Let

U

be a set,

A, B

T

U

be typed sets,

f

be an endo-funcoid

on

U

. If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

t

B

up(dom

f

t

im

f

) then

f

is closed on

A

.

Proof.

Let

A

t

B

up(dom

f

t

im

f

).

¬

(

A

[

f

]

B

)

B

u h

f

i

A

=

⊥ ⇒

(dom

f

t

im

f

)

u

B

u h

f

i

A

=

⊥ ⇒

((dom

f

t

im

f

)

\

A

)

u h

f

i

A

=

⊥ ⇔

h

f

i

A

v

A.

Corollary

1186

.

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

t

B

up(dom

f

t

im

f

) then

f

is closed

on

A

\

B

for a funcoid

f

FCD

(

U, U

) for every sets

U

and typed sets

A, B

T

U

.

Proof.

Let

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

t

B

up(dom

f

t

im

f

). Then

¬

((

A

\

B

) [

f

]

B

)

(

A

\

B

)

t

B

up(dom

f

t

im

f

)

.

Lemma

1187

.

If

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

t

B

up(dom

f

t

im

f

) then

¬

(

A

[

f

n

]

B

)

for every whole positive

n

.

Proof.

Let

¬

(

A

[

f

]

B

)

A

t

B

up(dom

f

t

im

f

). From the above lemma

h

f

i

A

v

A

.

B

u h

f

i

A

=

, consequently

h

f

i

A

v

A

\

B

. Because (by the above

corollary)

f

is closed on

A

\

B

, then

h

f

ih

f

i

A

v

A

\

B

,

h

f

ih

f

ih

f

i

A

v

A

\

B

, etc. So

h

f

n

i

A

v

A

\

B

,

B

 h

f

n

i

A

,

¬

(

A

[

f

n

]

B

).

12.2. Endomorphism series

Definition

1188

.

S

1

(

µ

) =

µ

t

µ

2

t

µ

3

t

. . .

for an endomorphism

µ

of a pre-

category with countable join of morphisms (that is join defined for every countable

set of morphisms).

Definition

1189

.

S

(

µ

) =

µ

0

t

S

1

(

µ

) =

µ

0

t

µ

t

µ

2

t

µ

3

t

. . .

where

µ

0

= 1

Ob

µ

(identity morphism for the object Ob

µ

) where Ob

µ

is the object of endomorphism

µ

for an endomorphism

µ

of a category with countable join of morphisms.

I call

S

1

and

S

endomorphism series

.

Proposition

1190

.

The relation

S

(

µ

) is transitive for the category

Rel

.

225