11.5. CONTINUITY OF A RESTRICTED MORPHISM

224

Square restricting

of an element

f

to an object

A

is a special case of rectangular

restricting and is defined by the formula

I

A

f

I

A

(or by the formula

f

u

(

A

×

A

)).

Theorem

1187

.

For every elements

f

,

µ

,

ν

of our semigroup and an object

A

1

.

f

C(

µ, ν

)

f

|

A

C(

I

A

µ

I

A

, ν

);

2

.

f

C

0

(

µ, ν

)

f

|

A

C

0

(

I

A

µ

I

A

, ν

);

3

.

f

C

00

(

µ, ν

)

f

|

A

C

00

(

I

A

µ

I

A

, ν

).

(Two last items are true for the case when our semigroup is dagger.)

Proof.

1

.

f

|

A

C(

I

A

µ

I

A

, ν

)

f

|

A

I

A

µ

I

A

v

ν

f

|

A

f

I

A

I

A

µ

I

A

v

ν

f

|

A

f

I

A

µ

I

A

v

ν

f

I

A

f

I

A

µ

v

ν

f

f

µ

v

ν

f

f

C(

µ, ν

)

.

2

.

f

|

A

C

0

(

I

A

µ

I

A

, ν

)

I

A

µ

I

A

v

(

f

|

A

)

ν

f

|

A

I

A

µ

I

A

v

(

f

I

A

)

ν

f

I

A

I

A

µ

I

A

v

I

A

f

ν

f

I

A

µ

v

f

ν

f

f

C

0

(

µ, ν

)

.

3

.

f

|

A

C

00

(

I

A

µ

I

A

, ν

)

f

|

A

I

A

µ

I

A

(

f

|

A

)

v

ν

f

I

A

I

A

µ

I

A

I

A

f

v

ν

f

I

A

µ

I

A

f

v

ν

f

µ

f

v

ν

f

C

00

(

µ, ν

)

.