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11.3. CONTINUITY FOR TOPOLOGICAL SPACES

222

Theorem

1175

.

If

f

is a monovalued and entirely defined morphism of a

partially ordered dagger precategory then

f

C

0

(

µ, ν

)

f

C(

µ, ν

)

f

C

00

(

µ, ν

)

.

Proof.

From two previous propositions.

The classical general topology theorem that uniformly continuous function from

a uniform space to an other uniform space is proximity-continuous regarding the

proximities generated by the uniformities, generalized for reloids and funcoids takes

the following form:

Theorem

1176

.

If an entirely defined morphism of the category of reloids

f

C

00

(

µ, ν

) for some endomorphisms

µ

and

ν

of the category of reloids, then

(

FCD

)

f

C

0

((

FCD

)

µ,

(

FCD

)

ν

).

Exercise

1177

.

I leave a simple exercise for the reader to prove the last the-

orem.

Theorem

1178

.

Let

µ

and

ν

be endomorphisms of some partially ordered

dagger precategory and

f

Hom(Ob

µ,

Ob

ν

) be a monovalued, entirely defined

morphism. Then

f

C(

µ, ν

)

f

C(

µ

, ν

)

.

Proof.

f

µ

v

ν

f

µ

v

f

ν

f

µ

f

v

f

ν

f

f

µ

f

v

f

ν

f

µ

v

ν

f

f

f

µ

v

f

ν

f

µ

v

f

ν

f

µ

v

f

ν

f

.

Thus

f

µ

v

ν

f

µ

f

µ

v

ν

f

.

11.3. Continuity for topological spaces

Proposition

1179

.

The following are pairwise equivalent for funcoids

µ

,

ν

and

a monovalued, entirely defined morphism

f

Hom(Ob

µ,

Ob

ν

):

1

.

A

T

Ob

µ, B

up

h

ν

ih

f

i

A

:

f

1

B

up

h

µ

i

A

.

2

.

f

C(

µ, ν

).

3

.

f

C(

µ

1

, ν

1

).

Proof.

2

3

By general

f

µ

v

ν

f

f

µ

v

ν

f

formula above.

1

2

.

1

is equivalent to

D

f

1

E

up

h

ν

ih

f

i

A

up

h

µ

i

A

equivalent to

h

ν

ih

f

i

A

w h

f

ih

µ

i

A

(used “Orderings of filters” chapter).

Corollary

1180

.

The following are pairwise equivalent for topological spaces

µ

,

ν

and a monovalued, entirely defined morphism

f

Hom(Ob

µ,

Ob

ν

):

1

.

x

Ob

µ, B

up

h

ν

ih

f

i

{

x

}

:

f

1

B

up

h

µ

i

{

x

}

.

2

. Preimages (by

f

) of open sets are open.

3

.

f

C(

µ, ν

) that is

h

f

ih

µ

i

{

x

} v h

ν

ih

f

i

{

x

}

for every

x

Ob

µ

.

4

.

f

C(

µ

1

, ν

1

) that is

h

f

i

µ

1

A

v

ν

1

h

f

i

A

for every

A

T

Ob

µ

.

Proof.

2

from the previous proposition is equivalent to

h

f

ih

µ

i

{

x

} v

h

ν

ih

f

i

{

x

}

equivalent to

D

f

1

E

up

h

ν

ih

f

i

{

x

} ⊆

up

h

µ

i

{

x

}

for every

x

Ob

µ

,

equivalent to

1

(used “Orderings of filters” chapter).

It remains to prove

3

2

.

3

2

Let

B

be an open set in

ν

. For every

x

f

1

B

we have

f

(

x

)

B

that

is

B

is a neighborhood of

f

(

x

), thus

f

1

B

is a neighborhood of

x

. We

have proved that

f

1

B

is open.